12. sınıf matematik 12. sınıf matematik Olasılık testi ve çözümleri – İnteraktif Test
1) Bir torbada 3 kırmızı, 5 mavi ve 2 yeşil top bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilen bir topun hangi renkte olma olasılığı en fazladır?
Çözüm: Torbadaki toplam top sayısı: 3 (kırmızı) + 5 (mavi) + 2 (yeşil) = 10 top.
Kırmızı top gelme olasılığı: 3/10
Mavi top gelme olasılığı: 5/10
Yeşil top gelme olasılığı: 2/10
En fazla top sayısı mavi olduğu için, mavi top gelme olasılığı en fazladır.
2) Bir madeni para art arda iki kez atıldığında, birinci atışta yazı, ikinci atışta tura gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm: Madeni paranın bir atışta yazı gelme olasılığı 1/2'dir.
Madeni paranın bir atışta tura gelme olasılığı 1/2'dir.
Bu iki olay bağımsız olduğundan, ikisinin birden gerçekleşme olasılığı bu olasılıkların çarpımıdır:
P(Yazı ve Tura) = P(Yazı) * P(Tura) = (1/2) * (1/2) = 1/4.
Olası tüm durumlar: (Yazı, Yazı), (Yazı, Tura), (Tura, Yazı), (Tura, Tura). İstenen durum (Yazı, Tura) bir tanedir. Toplam 4 olası durum vardır. Dolayısıyla olasılık 1/4'tür.
3) Aşağıdaki olaylardan hangisinin gerçekleşme olasılığı imkansızdır?
Çözüm: A) Nisan ayı 30 gündür. Dolayısıyla Nisan ayında 31 gün olması imkansız bir olaydır. (Olasılık = 0)
B) Bir zarı attığımızda 2, 4, 6 gibi çift sayılar gelebilir. Bu olayın olasılığı 3/6 = 1/2'dir.
C) Havaya atılan bir paranın yazı gelme olasılığı 1/2'dir.
D) Yarın yağmur yağması meteorolojik koşullara bağlı olarak olası bir durumdur.
E) 10 kırmızı top bulunan bir torbadan kırmızı top çekilmesi kesin olaydır. (Olasılık = 1)
4) Rakamlar kümesinden (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) rastgele seçilen bir rakamın tek sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm: Rakamlar kümesi: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Toplam 10 rakam vardır. Bu, örneklem uzayımızın eleman sayısıdır (s(E) = 10).
Tek sayılar: {1, 3, 5, 7, 9}. Toplam 5 tek sayı vardır. Bu, istenen olayın eleman sayısıdır (s(A) = 5).
Bir olayın olma olasılığı P(A) = s(A) / s(E) formülü ile bulunur.
P(Tek sayı) = 5 / 10 = 1/2.
5) Bir sınıfta 15 kız ve 10 erkek öğrenci bulunmaktadır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek öğrenci olma olasılığı kaçtır?
Çözüm: Sınıftaki toplam öğrenci sayısı: 15 (kız) + 10 (erkek) = 25 öğrenci. Bu, örneklem uzayımızın eleman sayısıdır (s(E) = 25).
Erkek öğrenci sayısı: 10. Bu, istenen olayın eleman sayısıdır (s(A) = 10).
Erkek öğrenci seçme olasılığı P(Erkek) = s(Erkek) / s(Toplam) = 10 / 25.
Kesir sadeleştirildiğinde: 10/25 = 2/5.
6) Bir kutuda yalnızca mavi ve sarı bilyeler vardır. Kutudan rastgele çekilen bir bilyenin mavi olma olasılığı 3/7'dir. Eğer kutuda 12 sarı bilye varsa, kutudaki toplam bilye sayısı kaçtır?
Çözüm: Mavi olma olasılığı 3/7 ise, sarı olma olasılığı 1 - 3/7 = 4/7'dir.
Sarı bilye sayısı 12 olarak verilmiştir ve bu oran toplam bilyelerin 4/7'sine eşittir.
Toplam bilye sayısına T diyelim.
P(Sarı) = (Sarı bilye sayısı) / (Toplam bilye sayısı)
4/7 = 12 / T
4 * T = 7 * 12
4T = 84
T = 84 / 4
T = 21.
7) İki tane standart zar aynı anda atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının 7 olma olasılığı kaçtır?
Çözüm: İki zar atıldığında toplam olası durum sayısı 6 * 6 = 36'dır (Örneklem uzayı: (1,1), (1,2), ..., (6,6)).
Üst yüze gelen sayıların toplamının 7 olduğu durumlar:
(1, 6)
(2, 5)
(3, 4)
(4, 3)
(5, 2)
(6, 1)
Toplam 6 farklı durum vardır.
Olasılık = (İstenen durum sayısı) / (Toplam durum sayısı) = 6 / 36 = 1/6.
8) Bir maçta A takımının galip gelme olasılığı 0.4, beraberlik olasılığı ise 0.3'tür. Bu maçta A takımının mağlup olma olasılığı kaçtır? (Maçın sonucu sadece galibiyet, beraberlik veya mağlubiyet olabilir.)
Çözüm: Bir olayın tüm olası sonuçlarının olasılıkları toplamı 1'e eşittir.
P(Galibiyet) + P(Beraberlik) + P(Mağlubiyet) = 1
0.4 + 0.3 + P(Mağlubiyet) = 1
0.7 + P(Mağlubiyet) = 1
P(Mağlubiyet) = 1 - 0.7
P(Mağlubiyet) = 0.3.
9) Bir sınıfta 6 kız ve 4 erkek öğrenci bulunmaktadır. Bu sınıftan rastgele seçilen 3 kişilik bir grubun 2 kız ve 1 erkek öğrenciden oluşma olasılığı kaçtır?
Çözüm: Toplam öğrenci sayısı: 6 (kız) + 4 (erkek) = 10 öğrenci.
Toplam 3 kişilik grup oluşturma sayısı: C(10, 3) = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1) = 120. (Örneklem uzayının eleman sayısı)
İstenen durum: 2 kız ve 1 erkek öğrenci seçmek.
2 kız öğrenci seçme sayısı: C(6, 2) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15.
1 erkek öğrenci seçme sayısı: C(4, 1) = 4! / (1! * 3!) = 4.
İstenen durum sayısı (2 kız ve 1 erkek): 15 * 4 = 60.
Olasılık = (İstenen durum sayısı) / (Toplam durum sayısı) = 60 / 120 = 1/2.
10) "MATEMATİK" kelimesinin harfleri yerleri değiştirilerek yazılabilecek 9 harfli anlamlı ya da anlamsız tüm kelimelerden rastgele biri seçildiğinde, bu kelimenin 'M' harfi ile başlayıp 'K' harfi ile bitme olasılığı kaçtır?
Çözüm: "MATEMATİK" kelimesinde 9 harf vardır. Harflerin tekrar sayıları: M: 2, A: 2, T: 2, E: 1, İ: 1, K: 1.
Toplam farklı kelime sayısı (tekrarlı permütasyon): P(9; 2,2,2) = 9! / (2! * 2! * 2!) = 362880 / 8 = 45360. (Örneklem uzayının eleman sayısı)
İstenen durum: Kelimenin 'M' ile başlayıp 'K' ile bitmesi.
Başa bir 'M', sona bir 'K' sabitlediğimizde geriye 7 harf kalır: {A, T, E, M, A, T, İ}.
Bu 7 harf arasındaki tekrarlar: A (2 tane), T (2 tane), M (1 tane), E (1 tane), İ (1 tane).
Bu 7 harfin kendi arasındaki permütasyonları: P(7; 2,2) = 7! / (2! * 2!) = 5040 / 4 = 1260. (İstenen olayın eleman sayısı)
Olasılık = (İstenen durum sayısı) / (Toplam durum sayısı) = 1260 / 45360 = 126 / 4536 = 1/36.
11) Bir torbada 5 kırmızı ve 3 beyaz top bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir top çekilip rengine bakıldıktan sonra top tekrar torbaya konuluyor. Daha sonra tekrar bir top çekildiğinde, birinci çekilişte kırmızı, ikinci çekilişte beyaz top gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm: Toplam top sayısı: 5 (kırmızı) + 3 (beyaz) = 8 top.
Birinci çekilişte kırmızı top gelme olasılığı: P(Kırmızı) = 5/8.
Çekilen top torbaya geri konulduğu için, ikinci çekiliş birinci çekilişten bağımsızdır ve toplam top sayısı ile renk dağılımı değişmez.
İkinci çekilişte beyaz top gelme olasılığı: P(Beyaz) = 3/8.
İki bağımsız olayın arka arkaya gerçekleşme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir:
P(Kırmızı ve Beyaz) = P(Kırmızı) * P(Beyaz) = (5/8) * (3/8) = 15/64.
12) Bir sınıftaki 30 öğrenciden 12'si erkektir. Kız öğrencilerin 8'i gözlüklü, erkek öğrencilerin ise 5'i gözlüklüdür. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin kız öğrenci olma olasılığı kaçtır?
Çözüm: Toplam öğrenci sayısı = 30
Erkek öğrenci sayısı = 12
Kız öğrenci sayısı = 30 - 12 = 18
Gözlüklü kız öğrenci sayısı = 8
Gözlüklü erkek öğrenci sayısı = 5
Toplam gözlüklü öğrenci sayısı = 8 + 5 = 13.
Bu bir koşullu olasılık sorusu olduğundan, yeni örneklem uzayımız 'gözlüklü öğrenciler' kümesidir ve eleman sayısı 13'tür.
İstenen olay: Bu gözlüklü öğrencinin kız olması.
Olasılık = (Gözlüklü kız öğrenci sayısı) / (Toplam gözlüklü öğrenci sayısı) = 8 / 13.
13) Bir hastalığın toplumdaki görülme oranı %0.5'tir. Bu hastalığı tespit eden bir testin, hasta olan bir kişide pozitif sonuç verme olasılığı %98 (doğru pozitif) ve hasta olmayan bir kişide pozitif sonuç verme olasılığı %3 (yanlış pozitif) olarak bilinmektedir. Rastgele seçilen bir kişinin test sonucu pozitif çıktığına göre, bu kişinin gerçekten hasta olma olasılığı kaçtır?
Çözüm: P(Hasta) = 0.005
P(Hasta Değil) = 1 - 0.005 = 0.995
P(Test Pozitif | Hasta) = 0.98
P(Test Pozitif | Hasta Değil) = 0.03
Bayes Teoremi'ne göre P(Hasta | Test Pozitif) = [P(Test Pozitif | Hasta) * P(Hasta)] / P(Test Pozitif)
Öncelikle P(Test Pozitif)'i bulalım:
P(Test Pozitif) = P(Test Pozitif | Hasta) * P(Hasta) + P(Test Pozitif | Hasta Değil) * P(Hasta Değil)
P(Test Pozitif) = (0.98 * 0.005) + (0.03 * 0.995)
P(Test Pozitif) = 0.0049 + 0.02985 = 0.03475
Şimdi P(Hasta | Test Pozitif)'i hesaplayalım:
P(Hasta | Test Pozitif) = 0.0049 / 0.03475 ≈ 0.141007
Yani, yaklaşık %14.1.
14) Bir madeni para art arda 4 kez atılıyor. Bu atışlarda en az bir kez tura gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm: 4 kez para atıldığında toplam olası durum sayısı 2^4 = 16'dır (Örnek: YYYY, YYYT, ..., TTTT).
'En az bir kez tura gelmesi' olayı, 'hiç tura gelmemesi' olayının tümleyenidir.
Hiç tura gelmemesi, yani tüm atışların yazı gelmesi (YYYY) durumu sadece 1 tanedir.
P(Hiç Tura) = 1/16.
P(En az bir Tura) = 1 - P(Hiç Tura) = 1 - (1/16) = 15/16.
15) Bir piyangoda biletlerin %10'u 100 TL, %20'si 50 TL ve %30'u 10 TL kazandırmaktadır. Geri kalan biletler ise hiçbir kazanç sağlamamaktadır. Bu piyangodan bir bilet satın alan bir kişinin beklenen kazancı kaç TL'dir?
Çözüm: Kazanma olasılıkları ve miktarları:
P(100 TL kazanma) = 0.10
P(50 TL kazanma) = 0.20
P(10 TL kazanma) = 0.30
Hiç kazanç sağlamama olasılığı = 1 - (0.10 + 0.20 + 0.30) = 1 - 0.60 = 0.40 (0 TL kazanma).
Beklenen kazanç (E(X)) = Σ [x * P(x)]
E(Kazanç) = (100 * 0.10) + (50 * 0.20) + (10 * 0.30) + (0 * 0.40)
E(Kazanç) = 10 + 10 + 3 + 0 = 23 TL.
16) Uzunluğu 20 cm olan bir doğru parçası üzerinde rastgele bir nokta işaretleniyor. Bu noktanın doğru parçasının başlangıç noktasından itibaren 5 cm ile 12 cm arasında bir yerde olma olasılığı kaçtır?
Çözüm: Toplam doğru parçasının uzunluğu 20 cm'dir. Bu, örneklem uzayımızın 'boyutu'dur.
İstenen aralık: Başlangıç noktasından itibaren 5 cm ile 12 cm arası.
Bu aralığın uzunluğu = 12 cm - 5 cm = 7 cm'dir.
Geometrik olasılıkta olasılık, istenen bölgenin uzunluğunun toplam bölgenin uzunluğuna oranı olarak hesaplanır.
Olasılık = (İstenen aralığın uzunluğu) / (Toplam doğru parçasının uzunluğu) = 7 cm / 20 cm = 7/20.
17) Bir şirketteki çalışanların yaş ve cinsiyet dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir: | Cinsiyet / Yaş | 20-30 Yaş | 31-40 Yaş | 41 Yaş ve Üzeri | Toplam | |----------------|-----------|-----------|-----------------|--------| | Kadın | 15 | 25 | 10 | 50 | | Erkek | 20 | 30 | 10 | 60 | | Toplam | 35 | 55 | 20 | 110 | Bu şirketten rastgele seçilen bir çalışanın 40 yaşından küçük olduğu bilindiğine göre, bu çalışanın erkek olma olasılığı kaçtır?
Çözüm: Koşul: Seçilen çalışanın 40 yaşından küçük olduğu biliniyor. Bu, yeni örneklem uzayımızı oluşturur.
40 yaşından küçük çalışanlar (20-30 yaş ve 31-40 yaş aralığı):
Kadınlar: 15 (20-30) + 25 (31-40) = 40
Erkekler: 20 (20-30) + 30 (31-40) = 50
Toplam 40 yaşından küçük çalışan sayısı = 40 + 50 = 90. (Bu, koşullu örneklem uzayının eleman sayısıdır)
İstenen durum: Bu çalışanın erkek olması.
40 yaşından küçük erkek çalışan sayısı = 20 + 30 = 50.
Olasılık = (40 yaşından küçük erkek çalışan sayısı) / (Toplam 40 yaşından küçük çalışan sayısı) = 50 / 90.
18) Bir hedef tahtasına atış yapan Ali'nin hedefi vurma olasılığı 0.6, Can'ın hedefi vurma olasılığı ise 0.7'dir. İkisi de birer atış yaptığında, hedefin en az bir tanesi tarafından vurulmuş olma olasılığı kaçtır? (Atışlar birbirinden bağımsızdır.)
Çözüm: Ali'nin hedefi vurma olasılığı P(A) = 0.6
Can'ın hedefi vurma olasılığı P(C) = 0.7
'Hedefin en az bir tanesi tarafından vurulmuş olması' olayı, 'hiç kimsenin hedefi vuramaması' olayının tümleyenidir.
Ali'nin hedefi vurmama olasılığı P(A') = 1 - 0.6 = 0.4
Can'ın hedefi vurmama olasılığı P(C') = 1 - 0.7 = 0.3
Atışlar birbirinden bağımsız olduğu için, ikisinin de hedefi vuramama olasılığı P(A' ve C') = P(A') * P(C') = 0.4 * 0.3 = 0.12'dir.
En az bir tanesinin hedefi vurma olasılığı = 1 - P(Hiç kimse vurmuyor) = 1 - 0.12 = 0.88.
19) Bir trafik ışığı 40 saniye yeşil, 5 saniye sarı ve 35 saniye kırmızı kalmaktadır. Bu trafik ışıklarına rastgele yaklaşan bir sürücünün, ışığın kırmızı yanıyor olduğunu görme olasılığı kaçtır?
Çözüm: Işığın toplam bir döngü süresi: 40 (yeşil) + 5 (sarı) + 35 (kırmızı) = 80 saniye.
Kırmızı ışık yanma süresi = 35 saniye.
Olasılık = (Kırmızı yanma süresi) / (Toplam döngü süresi) = 35 / 80.
Kesir sadeleştirildiğinde (her iki tarafı 5'e bölerek) = 7/16.
20) Bir şehirde yarın yağmur yağma olasılığı %40'tır. Eğer yağmur yağarsa, trafiğin yoğun olma olasılığı %70'tir. Eğer yağmur yağmazsa, trafiğin yoğun olma olasılığı %20'dir. Bu şehirde yarın trafiğin yoğun olma olasılığı kaçtır?
Çözüm: P(Yağmur) = 0.40
P(Yağmur Yağmaz) = 1 - 0.40 = 0.60
P(Yoğun Trafik | Yağmur) = 0.70 (Yağmur varken trafiğin yoğun olma olasılığı)
P(Yoğun Trafik | Yağmur Yağmaz) = 0.20 (Yağmur yokken trafiğin yoğun olma olasılığı)
Trafiğin yoğun olma olasılığı, yağmurun yağıp yağmama durumlarına göre toplam olasılıktır:
P(Yoğun Trafik) = P(Yoğun Trafik | Yağmur) * P(Yağmur) + P(Yoğun Trafik | Yağmur Yağmaz) * P(Yağmur Yağmaz)
P(Yoğun Trafik) = (0.70 * 0.40) + (0.20 * 0.60)
P(Yoğun Trafik) = 0.28 + 0.12
P(Yoğun Trafik) = 0.40 veya %40.
Skor: 0/0 (0%)
Olasılık
Olasılık konusunda kapsamlı bir anlatım aşağıdadır.