12. sınıf matematik 12. sınıf matematik Diziler testi ve çözümleri – İnteraktif Test
1) Aşağıdaki sayı örüntüsü belirli bir kurala göre devam etmektedir: 3, 7, 11, 15, ... Buna göre, örüntünün 5. terimi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Verilen örüntüye bakıldığında, her terim bir önceki terimin 4 fazlasıdır.
3 (+4) = 7
7 (+4) = 11
11 (+4) = 15
Bu durumda, 4. terim olan 15'e 4 ekleyerek 5. terimi bulabiliriz:
15 + 4 = 19.
Doğru cevap C seçeneğidir.
2) Aşağıda ilk üç adımı verilen bir şekil örüntüsü bulunmaktadır. 1. Adım: ◍ 2. Adım: ◍◍◍ 3. Adım: ◍◍◍◍◍ Bu örüntüdeki nokta (◍) sayısı belirli bir kurala göre artmaktadır. Buna göre, örüntünün 4. adımında kaç tane nokta bulunması gerekir?
Çözüm: Örüntüdeki nokta sayılarını inceleyelim:
1. Adım: 1 nokta
2. Adım: 3 nokta
3. Adım: 5 nokta
Nokta sayıları sırasıyla 1, 3, 5, ... şeklinde artmaktadır. Bu bir tek sayılar örüntüsüdür. Her adımda nokta sayısı 2 artmaktadır.
1 + 2 = 3
3 + 2 = 5
Bu durumda, 4. adımda 3. adımdaki nokta sayısına 2 ekleyerek bulabiliriz:
5 + 2 = 7 nokta.
Doğru cevap B seçeneğidir.
3) Bir sayı örüntüsünün genel kuralı (n. terimi) 3n + 2 olarak verilmiştir. Bu örüntünün 8. terimi kaçtır?
Çözüm: Örüntünün genel kuralı a_n = 3n + 2'dir. 8. terimi bulmak için n yerine 8 yazılır.
a_8 = 3 * (8) + 2
a_8 = 24 + 2
a_8 = 26.
Doğru cevap C seçeneğidir.
4) Terimleri 5, 9, 13, 17, ... şeklinde devam eden bir sayı örüntüsünün genel kuralı (n. terimi) aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Örüntünün terimleri arasındaki farka bakalım:
9 - 5 = 4
13 - 9 = 4
17 - 13 = 4
Terimler arasındaki fark sabit ve 4'tür. Bu, genel kuralın '4n' içeren bir ifade olacağını gösterir.
Şimdi ilk terimi kontrol edelim:
Eğer genel kural 4n olsaydı, n=1 için 4*1=4 olurdu, ama ilk terim 5'tir. Bu durumda 4n'ye 1 eklememiz gerekir.
Genel kural = 4n + 1
Kontrol edelim:
n=1 için: 4(1) + 1 = 5 (Doğru)
n=2 için: 4(2) + 1 = 9 (Doğru)
n=3 için: 4(3) + 1 = 13 (Doğru)
Doğru cevap B seçeneğidir.
5) Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir sayı dizisinin genel terimi olamaz?
Çözüm: Bir sayı dizisi, tanım kümesi pozitif tam sayılar (N+) olan bir fonksiyondur. Yani n yerine 1, 2, 3, ... gibi değerler yazdığımızda daima tanımlı ve gerçek bir sayı elde etmeliyiz.
* a_n = 2n + 1: n pozitif tam sayı olduğunda daima tanımlıdır.
* b_n = n^2 - 3n: n pozitif tam sayı olduğunda daima tanımlıdır.
* c_n = 1 / (n - 2): Eğer n=2 olursa, payda sıfır olur ve ifade tanımsız hale gelir (1/0). n=2 bir pozitif tam sayı olduğu için bu ifade bir dizi belirtmez.
* d_n = √n: n pozitif tam sayı olduğunda karekök içi pozitif olur ve daima tanımlıdır.
* e_n = (-1)^n * n: n pozitif tam sayı olduğunda daima tanımlıdır.
Bu nedenle, c_n = 1 / (n - 2) ifadesi bir dizi genel terimi olamaz.
Doğru cevap C seçeneğidir.
6) Genel terimi a_n = n^2 - 3n + 1 olan bir dizinin 4. terimi kaçtır?
Çözüm: Dizinin genel terimi a_n = n^2 - 3n + 1 olarak verilmiştir. 4. terimi bulmak için n yerine 4 yazılır.
a_4 = (4)^2 - 3*(4) + 1
a_4 = 16 - 12 + 1
a_4 = 4 + 1
a_4 = 5.
Doğru cevap C seçeneğidir.
7) Bir (a_n) dizisinin genel terimi a_n = (n + 1) / (n + 2) olarak veriliyor. Buna göre a_3 - a_1 farkı kaçtır?
Çözüm: Öncelikle a_3 ve a_1 terimlerini bulalım:
a_1 için n yerine 1 yazılır:
a_1 = (1 + 1) / (1 + 2) = 2 / 3
a_3 için n yerine 3 yazılır:
a_3 = (3 + 1) / (3 + 2) = 4 / 5
Şimdi a_3 - a_1 farkını hesaplayalım:
a_3 - a_1 = (4 / 5) - (2 / 3)
Paydaları eşitleyelim (5 ve 3 için ortak payda 15'tir):
= (4 * 3) / (5 * 3) - (2 * 5) / (3 * 5)
= 12 / 15 - 10 / 15
= (12 - 10) / 15
= 2 / 15.
Doğru cevap B seçeneğidir.
8) Genel terimi a_n = (3k - 6)n + 5 olan bir dizi sabit dizi olduğuna göre, k değeri kaçtır?
Çözüm: Bir dizinin sabit dizi olması için tüm terimlerinin birbirine eşit olması gerekir. Bu da genel terimde 'n' değişkenine bağlı bir ifade bulunmaması anlamına gelir (n'nin katsayısı sıfır olmalıdır).
Verilen genel terim a_n = (3k - 6)n + 5 şeklindedir.
'n'nin katsayısı (3k - 6) ifadesidir. Bu katsayının sıfır olması gerekir:
3k - 6 = 0
3k = 6
k = 6 / 3
k = 2.
Bu durumda dizi a_n = 5 şeklinde sabit bir dizi olur.
Doğru cevap C seçeneğidir.
9) İlk terimi 7 ve ortak farkı 3 olan bir aritmetik dizinin 10. terimi kaçtır?
Çözüm: Aritmetik dizinin genel terim formülü a_n = a_1 + (n - 1)d şeklindedir.
Burada:
a_1 = ilk terim = 7
d = ortak fark = 3
n = terim sayısı = 10 (10. terimi arıyoruz)
Formülü uygulayalım:
a_10 = a_1 + (10 - 1)d
a_10 = 7 + (9) * 3
a_10 = 7 + 27
a_10 = 34.
Doğru cevap B seçeneğidir.
10) Bir aritmetik dizide a_5 = 18 ve a_9 = 34 olduğuna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır?
Çözüm: Aritmetik dizide herhangi iki terim arasındaki ilişki a_m = a_k + (m - k)d şeklindedir.
Burada a_9 = 34, a_5 = 18 ve terim indeksleri m=9, k=5'tir. d ortak farkı bulmak istiyoruz.
a_9 = a_5 + (9 - 5)d
34 = 18 + 4d
34 - 18 = 4d
16 = 4d
d = 16 / 4
d = 4.
Doğru cevap C seçeneğidir.
11) İlk terimi 3 ve ortak farkı 2 olan bir aritmetik dizinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?
Çözüm: Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı S_n = n/2 * (a_1 + a_n) veya S_n = n/2 * [2a_1 + (n-1)d] formülü ile bulunur.
Verilenler:
a_1 = 3
d = 2
n = 10
Önce 10. terimi (a_10) bulalım:
a_n = a_1 + (n - 1)d
a_10 = 3 + (10 - 1) * 2
a_10 = 3 + 9 * 2
a_10 = 3 + 18
a_10 = 21
Şimdi ilk 10 terim toplamını bulalım:
S_10 = 10/2 * (a_1 + a_10)
S_10 = 5 * (3 + 21)
S_10 = 5 * 24
S_10 = 120.
Doğru cevap C seçeneğidir.
12) Ayşe, her ay kumbarasına bir önceki aydan 15 TL fazla para atmaktadır. İlk ay kumbarasına 20 TL atan Ayşe, 12 ay sonunda toplam kaç TL biriktirmiş olur?
Çözüm: Bu durum bir aritmetik dizi oluşturur. Çünkü her ay sabit bir artış (ortak fark) vardır.
Verilenler:
İlk terim (a_1) = 20 TL (ilk ay attığı para)
Ortak fark (d) = 15 TL (her ayki artış)
Terim sayısı (n) = 12 (12 ay)
Toplam biriken parayı (ilk 12 terimin toplamı, S_12) bulmak için öncelikle 12. ayda atılan parayı (a_12) bulmalıyız:
a_n = a_1 + (n - 1)d
a_12 = 20 + (12 - 1) * 15
a_12 = 20 + 11 * 15
a_12 = 20 + 165
a_12 = 185 TL
Şimdi ilk 12 terim toplamını hesaplayalım:
S_n = n/2 * (a_1 + a_n)
S_12 = 12/2 * (20 + 185)
S_12 = 6 * (205)
S_12 = 1230 TL.
Doğru cevap B seçeneğidir.
13) İlk terimi 4 ve ortak oranı 2 olan bir geometrik dizinin 5. terimi kaçtır?
Çözüm: Geometrik dizinin genel terim formülü a_n = a_1 * r^(n-1) şeklindedir.
Burada:
a_1 = ilk terim = 4
r = ortak oran = 2
n = terim sayısı = 5 (5. terimi arıyoruz)
Formülü uygulayalım:
a_5 = a_1 * r^(5-1)
a_5 = 4 * 2^4
a_5 = 4 * 16
a_5 = 64.
Doğru cevap C seçeneğidir.
14) Bir geometrik dizide a_3 = 12 ve a_6 = 96 olduğuna göre, bu dizinin ortak oranı (r) kaçtır?
Çözüm: Geometrik dizide herhangi iki terim arasındaki ilişki a_m = a_k * r^(m-k) şeklindedir.
Burada a_6 = 96, a_3 = 12 ve terim indeksleri m=6, k=3'tür. r ortak oranı bulmak istiyoruz.
a_6 = a_3 * r^(6-3)
96 = 12 * r^3
Her iki tarafı 12'ye bölelim:
96 / 12 = r^3
8 = r^3
Bu denklemi sağlayan r değeri, küpü 8 olan sayıdır. r = 2.
Doğru cevap C seçeneğidir.
15) İlk terimi 3 ve ortak oranı 2 olan bir geometrik dizinin ilk 4 teriminin toplamı kaçtır?
Çözüm: Bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r) formülü ile bulunur.
Verilenler:
a_1 = 3
r = 2
n = 4
Formülü uygulayalım:
S_4 = 3 * (1 - 2^4) / (1 - 2)
S_4 = 3 * (1 - 16) / (-1)
S_4 = 3 * (-15) / (-1)
S_4 = 3 * 15
S_4 = 45.
Doğru cevap D seçeneğidir.
16) Bir bakteri türü her 20 dakikada bir ikiye katlanmaktadır. Başlangıçta 100 bakteri bulunan bir ortamda 2 saat sonra kaç bakteri olur?
Çözüm: Bu durum bir geometrik dizi oluşturur. Çünkü bakteri sayısı sabit bir oranda (2 katı) artmaktadır.
Verilenler:
Başlangıçtaki bakteri sayısı (a_1) = 100
Ortak oran (r) = 2 (her 20 dakikada bir ikiye katlandığı için)
Zaman dilimlerini hesaplayalım:
2 saat = 120 dakika.
Her 20 dakikada bir katlandığı için 120 / 20 = 6 artış döngüsü yaşanacaktır.
Dizinin başlangıçtaki durumu (t=0) a_1 olarak alınırsa, 1. artış sonrası a_2, ..., 6. artış sonrası a_7 olacaktır. Yani n. terim, (n-1) artış döngüsünü ifade eder.
Biz aslında 6 artış döngüsü sonrasını arıyoruz. Bu da genel terim formülündeki kuvvet (n-1)'in 6 olması gerektiği anlamına gelir. Yani (6+1)=7. terimi arıyoruz.
a_n = a_1 * r^(n-1)
a_7 = 100 * 2^(7-1)
a_7 = 100 * 2^6
a_7 = 100 * 64
a_7 = 6400.
Doğru cevap C seçeneğidir.
17) Bir (a_n) aritmetik dizisinde a_2 + a_8 = 30 olduğuna göre, a_5 terimi kaçtır?
Çözüm: Aritmetik dizilerde önemli bir özellik, dizinin terimlerinin indisleri toplamı eşit olan terim çiftlerinin toplamlarının da eşit olmasıdır. Veya daha genel olarak, herhangi iki terimin ortasındaki terim, bu iki terimin aritmetik ortalamasıdır.
a_2 = a_1 + d
a_8 = a_1 + 7d
a_2 + a_8 = (a_1 + d) + (a_1 + 7d) = 2a_1 + 8d = 30
Her tarafı 2'ye bölersek: a_1 + 4d = 15
Şimdi a_5 terimini inceleyelim:
a_5 = a_1 + (5 - 1)d = a_1 + 4d
Gördüğümüz gibi, a_5 tam olarak a_1 + 4d ifadesine eşittir. Bu da 15 demektir.
Alternatif olarak: Bir aritmetik dizide, a_k + a_m = a_p + a_q ise k+m = p+q.
Burada 2+8=10. Biz a_5'i arıyoruz. a_5 + a_5 = 2a_5. Dolayısıyla a_2 + a_8 = a_5 + a_5 = 2a_5.
30 = 2a_5
a_5 = 15.
Doğru cevap C seçeneğidir.
18) Bir (a_n) dizisinin genel terimi a_n = n! / (n+1)! olarak veriliyor. Bu dizinin 5. terimi kaçtır?
Çözüm: Öncelikle genel terimi sadeleştirelim:
a_n = n! / (n+1)!
(n+1)! ifadesini (n+1) * n! şeklinde yazabiliriz.
a_n = n! / ((n+1) * n!)
Pay ve paydadaki n! ifadeleri sadeleşir:
a_n = 1 / (n+1)
Şimdi 5. terimi bulmak için n yerine 5 yazalım:
a_5 = 1 / (5 + 1)
a_5 = 1 / 6.
Doğru cevap E seçeneğidir.
19) Hem aritmetik dizi hem de geometrik dizi olan bir dizinin ilk terimi 5 olduğuna göre, 10. terimi kaçtır?
Çözüm: Bir dizinin hem aritmetik hem de geometrik dizi olabilmesi için tüm terimlerinin birbirine eşit olması gerekir, yani dizinin sabit dizi olması gerekir.
Eğer dizi aritmetik ise ortak farkı d = a_n - a_(n-1) sabittir.
Eğer dizi geometrik ise ortak oranı r = a_n / a_(n-1) sabittir.
Eğer dizi hem aritmetik hem geometrik ise:
Herhangi iki ardışık terim aynı olmalı: a_1 = a_2 = a_3 = ...
Bunu gösterelim:
1. Aritmetik dizi ise: a_2 = a_1 + d, a_3 = a_2 + d
2. Geometrik dizi ise: a_2 = a_1 * r, a_3 = a_2 * r
Eğer a_1 = a_2 ise (dizi sabit ise), o zaman d = 0 ve r = 1 olur. Bu durumda her iki koşul da sağlanır.
Başka bir durum düşünelim: Eğer dizi sabit değilse, yani a_1 ≠ a_2 ise.
Ortak fark (d) ve ortak oran (r) sırasıyla a_2-a_1 ve a_2/a_1 olacaktır.
3. terim a_3 = a_2 + d = a_2 + (a_2 - a_1)
3. terim a_3 = a_2 * r = a_2 * (a_2 / a_1)
Bu iki a_3 ifadesini eşitleyelim:
a_2 + a_2 - a_1 = a_2^2 / a_1
2a_2 - a_1 = a_2^2 / a_1
Her tarafı a_1 ile çarpalım (a_1 ≠ 0 varsayalım, çünkü ilk terim 5 verilmiş):
2a_1a_2 - a_1^2 = a_2^2
0 = a_2^2 - 2a_1a_2 + a_1^2
0 = (a_2 - a_1)^2
Bu durumda a_2 - a_1 = 0, yani a_2 = a_1 olmak zorundadır. Bu da dizinin sabit olduğunu gösterir.
Dizinin ilk terimi 5 olduğuna göre, bu dizi sabit bir dizidir ve tüm terimleri 5'e eşittir.
Dolayısıyla 10. terimi de 5 olacaktır.
Doğru cevap C seçeneğidir.
20) Bir şirketin cirosu her yıl bir önceki yıla göre belirli bir oranda artmaktadır. İlk yıl cirosu 1.000.000 TL olan şirketin 3. yıl cirosu 1.210.000 TL olmuştur. Buna göre, bu şirketin 5. yıl cirosu kaç TL olur?
Çözüm: Ciro her yıl belirli bir oranda arttığı için bu bir geometrik dizi problemidir.
Verilenler:
İlk yıl ciro (a_1) = 1.000.000 TL
3. yıl ciro (a_3) = 1.210.000 TL
Geometrik dizinin genel terim formülü: a_n = a_1 * r^(n-1)
a_3 = a_1 * r^(3-1)
1.210.000 = 1.000.000 * r^2
r^2 = 1.210.000 / 1.000.000
r^2 = 1.21
r = √1.21
r = 1.1 (Ciro arttığı için ortak oran 1'den büyük olmalıdır).
Şimdi 5. yıl cirosunu (a_5) bulalım:
a_5 = a_1 * r^(5-1)
a_5 = 1.000.000 * (1.1)^4
a_5 = 1.000.000 * (1.21)^2
a_5 = 1.000.000 * 1.4641
a_5 = 1.464.100 TL.
Doğru cevap A seçeneğidir.
Skor: 0/0 (0%)
Diziler
Diziler konusunda kapsamlı bir anlatım aşağıdadır.