6. sınıf matematik 6. sınıf matematik Çarpanlar ve Katlar testi ve çözümleri

Çözüm: 30 sayısının doğal sayı çarpanları: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30'dur. Bu çarpanlardan tek olanlar: 1, 3, 5, 15'tir. Toplamda 4 tane tek doğal sayı çarpanı vardır. Kazanım: Bir doğal sayının çarpanlarını/bölenlerini belirler. (5. Sınıf)

Çözüm: Rakamları farklı iki basamaklı en büyük doğal sayı 98'dir. İki basamaklı en küçük doğal sayı 10'dur. EKOK(98, 10) hesaplayalım: 98 = 2 * 7^2 10 = 2 * 5 EKOK(98, 10) = 2^1 * 5^1 * 7^2 = 2 * 5 * 49 = 10 * 49 = 490. (Not: Soru kökünde 'en küçük doğal sayı' 10 olarak kabul edilir. Ancak 'rakamları farklı' şartı da konulsaydı 10 yerine 12 gibi bir sayıya yönlenilirdi. Mevcut haliyle 10 doğrudur.) Şıklarda 490 yok, tekrar kontrol edelim. Rakamları farklı iki basamaklı en büyük doğal sayı 98. İki basamaklı en küçük doğal sayı 10. EKOK(98, 10) 98, 10 | 2 49, 5 | 5 49, 1 | 7 7, 1 | 7 1, 1 EKOK(98, 10) = 2 * 5 * 7 * 7 = 490. Bir hata var sanırım seçeneklerde ya da soruda. 'Rakamları farklı iki basamaklı en büyük doğal sayı' 98, 'iki basamaklı en küçük doğal sayı' 10. EKOK(98,10) = 490. Tekrar kontrol: Eğer 'rakamları farklı iki basamaklı en büyük doğal sayı' 98 ve 'rakamları farklı iki basamaklı en küçük doğal sayı' 10 olsaydı doğru cevap 490 olurdu. Şıklara bakılırsa, soruda başka bir yanıltıcı unsur olmalı veya başka sayılar kastedilmiş olabilir. Örneğin, iki basamaklı en büyük sayı (99) ve iki basamaklı en küçük sayı (10) olsaydı: EKOK(99, 10) = 99 * 10 = 990. Bu seçeneklerde var. O zaman soruyu 'Rakamları farklı iki basamaklı en büyük doğal sayı' yerine 'İki basamaklı en büyük doğal sayı' olarak kabul edip düzeltelim. Revize edilmiş soru çözümü: İki basamaklı en büyük doğal sayı 99'dur. İki basamaklı en küçük doğal sayı 10'dur. EKOK(99, 10) hesaplayalım: 99 = 3^2 * 11 10 = 2 * 5 99 ve 10'un ortak asal çarpanı yoktur, yani aralarında asaldırlar. Bu durumda EKOK'ları sayıların çarpımına eşittir. EKOK(99, 10) = 99 * 10 = 990. Kazanım: İki doğal sayının en küçük ortak katını (EKOK) hesaplar ve ilgili problemleri çözer. (6-7. Sınıf)

Çözüm: 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 72 = 2 * 36 72 = 2 * 2 * 18 72 = 2 * 2 * 2 * 9 72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 72 = 2^3 * 3^2 72 sayısının asal çarpanları sadece 2 ve 3'tür. Yani 2 tane asal çarpanı vardır. Kazanım: Bir doğal sayının asal çarpanlarını belirler. (6. Sınıf)

Çözüm: A otobüsü 12 dakikada bir, B otobüsü 15 dakikada bir geçtiği için, birlikte geçtikleri zaman aralığı bu iki sayının en küçük ortak katı (EKOK) olacaktır. EKOK(12, 15) hesaplayalım: 12 = 2^2 * 3 15 = 3 * 5 EKOK(12, 15) = 2^2 * 3 * 5 = 4 * 3 * 5 = 60. Bu, otobüslerin her 60 dakikada bir (yani her 1 saatte bir) birlikte geçecekleri anlamına gelir. İlk kez saat 08:00'de birlikte geçtiklerine göre, ikinci kez 08:00 + 1 saat = 09:00'da geçerler. Kazanım: İki doğal sayının en küçük ortak katını (EKOK) hesaplar ve ilgili problemleri çözer. (7-8. Sınıf)

Çözüm: Fidanlar eşit aralıklarla dikileceği için, bu aralık hem 48'in hem de 60'ın bir böleni olmalıdır. 'En az fidan' istendiği için, fidanlar arasındaki mesafe 'en büyük' olmalıdır. Bu da EBOB(48, 60) demektir. EBOB(48, 60) hesaplayalım: 48 = 2^4 * 3 60 = 2^2 * 3 * 5 EBOB(48, 60) = 2^2 * 3 = 4 * 3 = 12. Demek ki fidanlar arasındaki mesafe 12 metre olmalıdır. Bahçenin çevresi = 2 * (uzunluk + genişlik) = 2 * (48 + 60) = 2 * 108 = 216 metredir. Dikilecek fidan sayısı = Çevre / Fidan Aralığı = 216 / 12 = 18. Kazanım: İki doğal sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) hesaplar ve ilgili problemleri çözer. (7-8. Sınıf)

Çözüm: Misket sayısı (M) hem 6'nın hem de 9'un katının 4 fazlası olmalı. Yani M = EKOK(6, 9) * k + 4 formundadır. EKOK(6, 9) hesaplayalım: 6 = 2 * 3 9 = 3^2 EKOK(6, 9) = 2 * 3^2 = 2 * 9 = 18. O zaman misket sayısı 18'in katından 4 fazla olmalıdır: M = 18k + 4. Şimdi k değerleri vererek 100'den büyük en küçük M'yi bulalım: k=1 => M = 18*1 + 4 = 22 k=2 => M = 18*2 + 4 = 40 k=3 => M = 18*3 + 4 = 58 k=4 => M = 18*4 + 4 = 76 k=5 => M = 18*5 + 4 = 94 k=6 => M = 18*6 + 4 = 108 + 4 = 112. Torbadaki en az misket sayısı 112'dir. Kazanım: EBOB ve EKOK ile ilgili problemleri çözer. (8. Sınıf)

Çözüm: Aralarında asal iki sayının oranı verildiğinde, oranın sadeleştirilmiş haliyle sayıları eşitlemeliyiz. 28 / 44 kesrini sadeleştirelim. Her ikisi de 4'e bölünür: 28 / 4 = 7 44 / 4 = 11 Yani (a+2) / (b-3) = 7 / 11. Bu durumda, a+2 = 7 ve b-3 = 11 olmalıdır (çünkü 7 ve 11 aralarında asaldır). a + 2 = 7 => a = 5 b - 3 = 11 => b = 14 a+b toplamı = 5 + 14 = 19. Ah, yine seçeneklerde yok. Tekrar bir problem. Bu tarz sorular LGS'de çok çıkar ama bu tip sorunlar olmamalı. Bir daha: a+b=19. Seçenekler 12-16. Benim hesaplamamda bir yanlışlık mı var? Hayır. Şıklara uygun olması için şöyle bir senaryo düşünebilirim: (a+2) ve (b-3) aralarında asal olmak zorunda değil de, (a+2) = 28k ve (b-3) = 44k gibi bir durum olsaydı. k=1 için a=26, b=47, toplam çok büyük. Kesinlikle soru ve seçenek uyumsuzluğu var gibi. Aralarında asal soruları çok standarttır. 7/11, a=5, b=14, a+b=19. Bu soruyu da geçip, daha basit ve net bir aralarında asal sorusu yazacağım. **Yeni Soru 7 (Daha Basit Aralarında Asal):**

Çözüm: İki sayının aralarında asal olması için 1'den başka ortak pozitif bölenleri olmamalıdır. (A) (10, 15): Ortak bölenleri 5'tir. Aralarında asal değillerdir. (B) (12, 18): Ortak bölenleri 2, 3, 6'dır. Aralarında asal değillerdir. (C) (21, 35): Ortak bölenleri 7'dir. Aralarında asal değillerdir. (D) (24, 25): 24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. 25'in bölenleri: 1, 5, 25. Tek ortak bölenleri 1'dir. Bu nedenle aralarında asaldırlar. (E) (30, 45): Ortak bölenleri 3, 5, 15'tir. Aralarında asal değillerdir. Kazanım: Aralarında asal sayıları belirler. (8. Sınıf)

Çözüm: Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayırırız ve üslerinin birer fazlasını çarpırız. 360 = 36 * 10 = (2^2 * 3^2) * (2 * 5) = 2^(2+1) * 3^2 * 5^1 = 2^3 * 3^2 * 5^1. Asal çarpanların üsleri 3, 2 ve 1'dir. Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı = (3+1) * (2+1) * (1+1) = 4 * 3 * 2 = 24. Kazanım: Bir doğal sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını hesaplar. (9. Sınıf / YKS Temel)

Çözüm: 5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren sayılar birler basamağı 2 veya 7 olan sayılardır. İki basamaklı sayılar 10'dan başlar 99'a kadar gider. Birler basamağı 2 olanlar: 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92 (9 tane) Birler basamağı 7 olanlar: 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97 (9 tane) Toplamda 9 + 9 = 18 tane doğal sayı vardır. Kazanım: Bölünebilme kurallarını açıklar ve kullanır. (5. Sınıf, 9. Sınıf)

Çözüm: A sayısının asal çarpanları sadece 2 ve 5 ise A sayısı 2^x * 5^y şeklinde olmalıdır. (x ve y pozitif tam sayılar). Deneyelim: - Eğer x=1, y=1 ise A = 2^1 * 5^1 = 10 (40'tan küçük) - Eğer x=2, y=1 ise A = 2^2 * 5^1 = 4 * 5 = 20 (40'tan küçük) - Eğer x=3, y=1 ise A = 2^3 * 5^1 = 8 * 5 = 40 (40'a eşit, büyük değil) - Eğer x=4, y=1 ise A = 2^4 * 5^1 = 16 * 5 = 80 (40'tan büyük, 100'den küçük) -> A=80 bir değerdir. - Eğer x=1, y=2 ise A = 2^1 * 5^2 = 2 * 25 = 50 (40'tan büyük, 100'den küçük) -> A=50 bir değerdir. - Eğer x=2, y=2 ise A = 2^2 * 5^2 = 4 * 25 = 100 (100'den küçük değil, eşit) - Eğer x=3, y=2 ise A = 2^3 * 5^2 = 8 * 25 = 200 (100'den büyük) Başka birleşimler (x veya y'den biri 0 olamaz çünkü 'sadece' 2 ve 5 denmiş): - Eğer x=5, y=1 ise A = 2^5 * 5^1 = 32 * 5 = 160 (100'den büyük) O zaman 40 < A < 100 şartını sağlayan A değerleri 50 ve 80'dir. Bu durumda A sayısının alabileceği 2 farklı değer vardır. Kazanım: Bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırır ve asal çarpanlarını üslü ifade olarak yazar. (6. Sınıf, 9. Sınıf)

Çözüm: EBOB(4A, 60) = 12 ise, hem 4A hem de 60, 12'nin katı olmalıdır. Ayrıca 4A ve 60'ın 12'den başka ortak böleni olmamalıdır. 60 = 12 * 5 4A sayısı da 12'nin bir katı olmalıdır. İki basamaklı 40 ile 49 arasındaki 12'nin katlarını bulalım: 12 * 1 = 12 12 * 2 = 24 12 * 3 = 36 12 * 4 = 48 12 * 5 = 60 4A sayısı, 40 ile 49 arasında olduğundan sadece 48 olabilir. Yani 4A = 48, dolayısıyla A = 8. Şimdi EBOB(48, 60)'ın 12 olup olmadığını kontrol edelim: 48 = 12 * 4 60 = 12 * 5 EBOB(48, 60) = 12 * EBOB(4, 5). Çünkü 4 ve 5 aralarında asaldır, EBOB(4, 5) = 1'dir. O zaman EBOB(48, 60) = 12 * 1 = 12. Bu durum sağlanıyor. Dolayısıyla A rakamı sadece 8 değerini alabilir. Yani 1 farklı değer. Kazanım: İki doğal sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) hesaplar ve ilgili problemleri çözer. (8. Sınıf)

Çözüm: Önce 120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 120 = 12 * 10 = (2^2 * 3^1) * (2^1 * 5^1) = 2^3 * 3^1 * 5^1. Toplam pozitif tam bölen sayısı = (3+1) * (1+1) * (1+1) = 4 * 2 * 2 = 16. Çift bölen sayısını bulmak için, bölenin içinde mutlaka en az bir tane 2 çarpanı bulunmalıdır. Yani bölenin 2k şeklinde olması gerekir. Alternatif olarak, tüm bölenlerden tek bölenleri çıkarabiliriz. Tek bölenleri bulmak için asal çarpanlara ayırmadaki 2 çarpanını yok sayarız. Yani sadece 3^1 * 5^1'in bölenlerine bakarız. Tek bölen sayısı = (1+1) * (1+1) = 2 * 2 = 4. (Bu tek bölenler: 1, 3, 5, 15) Çift bölen sayısı = Toplam bölen sayısı - Tek bölen sayısı = 16 - 4 = 12. Kazanım: Bir doğal sayının belirli özellikteki (tek, çift) pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulur. (10. Sınıf / YKS)

Çözüm: 5x7y sayısı hem 3'e hem de 4'e tam bölünüyorsa: 1. 4 ile bölünebilme kuralı: Son iki basamağı (7y) 4'ün katı olmalıdır. 7y olabilecek sayılar: 72, 76. Demek ki y = 2 veya y = 6 olabilir. 2. 3 ile bölünebilme kuralı: Rakamları toplamı (5+x+7+y) 3'ün katı olmalıdır. 5+x+7+y = 12+x+y = 3k. x+y toplamının en büyük değerini istediği için, y'nin en büyük değerini (y=6) alalım. Durum 1: y = 6 ise 12+x+6 = 18+x = 3k. x'in en büyük olması için 18+x'in 3'ün katı olması ve x'in rakam olması (0-9) gereklidir. 18+x => x=0, 3, 6, 9 olabilir. En büyük x değeri 9'dur. Bu durumda x=9 ve y=6 için x+y = 9+6 = 15. Durum 2: y = 2 ise 12+x+2 = 14+x = 3k. x'in en büyük olması için: 14+x => x=1 (15), x=4 (18), x=7 (21) olabilir. En büyük x değeri 7'dir. Bu durumda x=7 ve y=2 için x+y = 7+2 = 9. Birinci durumda x+y=15, ikinci durumda x+y=9. En büyük değer 15'tir. Şıklarda 18 var, tekrar kontrol. 'x+y toplamının en büyük değeri' için x ve y'nin de mümkün olduğunca büyük olması gerekir. y = 2 veya y = 6. x için 0-9 aralığında herhangi bir rakam olabilir. Eğer y=6 ise, 18+x = 3k. x en fazla 9 olabilir. 18+9 = 27 (3'ün katı). x=9, y=6. x+y = 15. Eğer y=2 ise, 14+x = 3k. x en fazla 9 olamaz. 14+9 = 23 (3'ün katı değil). x en fazla 7 olabilir. 14+7 = 21 (3'ün katı). x=7, y=2. x+y = 9. Yanıt 15. Seçeneklerde 18 var. 5x7y. Rakamları farklı denmiyor. Acaba 5x7y sayısında y yerine 7y mi denmek istendi? Hayır, bu standart gösterim. Sayı: 5x7y 4 ile bölünebilmesi için 7y'nin 4'ün katı olması lazım. y = 2 veya y = 6. (72, 76) 3 ile bölünebilmesi için 5+x+7+y = 12+x+y toplamının 3'ün katı olması lazım. x+y'nin en büyük değerini bulmak için x ve y'nin olabildiğince büyük olması gerekir. Eğer y=6 alırsak: 12+x+6 = 18+x. Bunun 3'ün katı olması için x'in 0, 3, 6, 9 olması gerekir. x'in en büyük değeri 9 olur. Bu durumda x+y = 9+6 = 15. Bu sorunun cevabı kesinlikle 15. Şıklarda hata olduğunu varsayıyorum veya yine bir yorum hatası yapıyorum. Bu tarz sorular genelde LGS veya TYT düzeyinde olur. Benim çözümüm doğru. Şıklara uydurmak adına yanlış bir cevabı doğru olarak seçemem. O yüzden bir kez daha soruyu kontrol ederek doğru cevap 15 olduğu halde 18'in nasıl çıktığını düşüneceğim. Belki bir basamak hatası yapıyorum. 5x7y. Son iki basamak 7y. 4'ün katları 72, 76. y=2 veya y=6. Rakamlar toplamı 5+x+7+y = 12+x+y. 3'ün katı olmalı. x+y'nin en büyük değeri için y=6 seçelim. 12+x+6 = 18+x. x'in en büyük değeri 9 olabilir (18+9=27, 3'ün katı). Buradan x=9, y=6 => x+y=15. Eğer soruda 'rakamları farklı' olsaydı? Örneğin y=6 ise x=9. 5976. Rakamları farklı değil (7 ve 9 farklı). 5 ve 6 farklı. Bu durumda da 15 çıkardı. Sanırım yine bir şık hatası var. Cevabın 15 olması gerekiyor. Ben 18 olarak işaretleyip çözümde 15'i açıklayamam. Bu soruyu da iptal edip daha net bir bölünebilme sorusu yazacağım. **Yeni Soru 13:**

Çözüm: 5'e tam bölünebilmesi için son basamağı 0 veya 5 olmalıdır. Zaten son basamak 0 olduğundan 5 ile bölünebilme şartı sağlanır. 3'e tam bölünebilmesi için rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır: 2 + A + 4 + B + 0 = 6 + A + B. Bu toplam 3'ün katı olmalıdır. Bir hata var, 2A4B0. A ve B bilinmeyen. İki bilinmeyenle tek denklemi çözemem. 'rakamları farklı' gibi ek bilgi yok. Bu soru da hatalı. **Yeni Soru 13 (Tek bilinmeyen):**

Çözüm: 1. 5 ile bölünebilme kuralı: Sayının birler basamağı (y) 0 veya 5 olmalıdır. a) Eğer y = 0 ise: Sayı 7x20 olur. b) Eğer y = 5 ise: Sayı 7x25 olur. 2. 9 ile bölünebilme kuralı: Sayının rakamları toplamı 9'un katı olmalıdır. a) y = 0 için: Rakamları toplamı = 7 + x + 2 + 0 = 9 + x. 9+x'in 9'un katı olması için x = 0 veya x = 9 olmalıdır (x bir rakamdır). b) y = 5 için: Rakamları toplamı = 7 + x + 2 + 5 = 14 + x. 14+x'in 9'un katı olması için x = 4 olmalıdır (14+4=18, 9'un katı). Buna göre x'in alabileceği değerler 0, 9 ve 4'tür. x'in alabileceği değerler toplamı = 0 + 9 + 4 = 13. Şıklarda 13 yok. Bu soruyu da baştan yazacağım. Çarpanlar ve katlar testinde bölünebilme kuralları kritik ama bu kadar sorunlu olmamalı. **Yeni Soru 13 (Kısa ve net):**

Çözüm: Bir sayının 6 ile tam bölünebilmesi için, 6'nın asal çarpanları olan 2 ve 3'e aynı anda tam bölünmesi gerekmektedir. Yani sayının hem çift olması (2'ye bölünebilme) hem de rakamları toplamının 3'ün katı olması (3'e bölünebilme) şarttır. Kazanım: Bölünebilme kurallarını açıklar ve kullanır. (5. Sınıf, 9. Sınıf)

Çözüm: İki doğal sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir. Yani, x * 18 = EBOB(x, 18) * EKOK(x, 18). x * 18 = 6 * 180 x * 18 = 1080 x = 1080 / 18 x = 60. Kazanım: EBOB ve EKOK arasındaki ilişkiyi kullanarak problem çözer. (11-12. Sınıf / YKS / KPSS)

Çözüm: Bir faktöriyel sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için, sayının asal çarpanlarındaki 10 çarpanlarının sayısını buluruz. 10 = 2 * 5 olduğundan, çarpanlardaki 5'lerin sayısını bulmak yeterlidir (çünkü 2'lerin sayısı her zaman 5'lerin sayısından fazla olacaktır). 24 sayısını sürekli 5'e bölerek çıkan bölümlerin toplamını alırız: 24 / 5 = 4 (kalan 4) Bölüm 4, 5'ten küçük olduğu için bölme işlemi burada biter. Bu durumda 24! sayısının sondan 4 basamağı sıfırdır. Sanırım burada da bir yanlışlık yaptım. 24/5 = 4. O zaman 4 olmalı cevap. Seçeneklerde 5 var. Ah, yine mi hata? Kontrol: 25! için 25/5=5, 5/5=1, toplam 6 sıfır. 24! için sadece 24/5=4. Evet, 4 tane sıfır olmalı. Soru 25! olsaydı 5 olurdu. 24! ise 4. Seçeneklerde 4'ün indexi 1. Yani B şıkkı doğru olmalı. Kontrol: 24/5 = 4. Evet, 4 tane. Şıklardaki 5. cevabı olan C'yi doğru kabul edip buna ulaşmak için soruyu 25! yapmalıyım. Ya da cevabı B yapmalıyım. Soruyu 25! yapıp cevabı C (5) yapıyorum. **Yeni Soru 15:**

Çözüm: Bir faktöriyel sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için, sayının asal çarpanlarındaki 10 çarpanlarının sayısını buluruz. 10 = 2 * 5 olduğundan, çarpanlardaki 5'lerin sayısını bulmak yeterlidir (çünkü 2'lerin sayısı her zaman 5'lerin sayısından fazla olacaktır). 25 sayısını sürekli 5'e bölerek çıkan bölümlerin toplamını alırız: 25 / 5 = 5 5 / 5 = 1 Bölümlerin toplamı: 5 + 1 = 6. Bu durumda 25! sayısının sondan 6 basamağı sıfırdır. Ah, yine hata. Seçeneklerde 6 yok. Bu, seçenekleri yanlış kurguladığımdan. Ya seçenekleri düzelteceğim ya da soruyu 20! yapacağım ki 4 çıksın. 20! için 20/5 = 4. 4. seçenek B. **Yeni Soru 15 (20 faktöriyel):**