12. sınıf matematik 12. sınıf matematik Analitik Geometri testi ve çözümleri

Çözüm: Bir noktanın koordinatları (x, y) ise, x pozitif ve y negatif olduğunda nokta IV. Bölgede yer alır. A(3, -2) noktasının x koordinatı 3 (pozitif) ve y koordinatı -2 (negatif) olduğundan, bu nokta IV. Bölgededir.

Çözüm: Bir noktanın y eksenine olan uzaklığı, o noktanın x koordinatının mutlak değeri kadardır. K(-4, 5) noktasının x koordinatı -4 olduğundan, y eksenine olan uzaklığı |-4| = 4 birimdir.

Çözüm: A(6,0) noktasından 4 birim batıya (x ekseni üzerinde sola) gitmek demek, x koordinatından 4 çıkarmak demektir. Yeni nokta (6-4, 0) = (2,0) olur.

Çözüm: Bir noktanın x eksenine göre yansıması alınırken, noktanın x koordinatı aynı kalır, y koordinatının işareti değişir. P(3, -5) noktasının x eksenine göre yansıması P'(3, -(-5)) = P'(3, 5) olur.

Çözüm: Bir nokta x ekseni boyunca 'a' birim sağa ötelenirse x koordinatına 'a' eklenir. y ekseni boyunca 'b' birim aşağıya ötelenirse y koordinatından 'b' çıkarılır. A(2, 7) noktasının x koordinatı 2+3=5 ve y koordinatı 7-2=5 olur. Dolayısıyla B(5, 5) olur.

Çözüm: Doğru y eksenini (0,3) noktasında, x eksenini (4,0) noktasında kesmektedir. Eğim (m) = (y2-y1)/(x2-x1) = (0-3)/(4-0) = -3/4. Doğrunun y eksenini kestiği nokta (0,b) olduğundan b=3'tür. Doğrunun denklemi y = mx + b formunda olduğundan, denklemi y = -3/4x + 3 olur.

Çözüm: Eğim, dikey değişimin yatay değişime oranıdır (rise/run). Başlangıç (0,0) ve bitiş (12,3) noktaları arasında dikey değişim 3 birim, yatay değişim 12 birimdir. Eğim = 3/12 = 1/4'tür.

Çözüm: İki nokta arasındaki uzaklık formülü d = √((x2-x1)² + (y2-y1)²) şeklindedir. A(5, -1) ve B(2, 3) için: d = √((2-5)² + (3-(-1))²) d = √((-3)² + (4)²) d = √(9 + 16) d = √25 d = 5 birimdir.

Çözüm: İki noktanın orta noktasının koordinatları ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2) formülü ile bulunur. A(-3, 8) ve B(7, -2) için: Orta nokta x koordinatı = (-3 + 7) / 2 = 4 / 2 = 2 Orta nokta y koordinatı = (8 + (-2)) / 2 = 6 / 2 = 3 Orta noktanın koordinatları (2, 3)'tür.

Çözüm: İki noktadan geçen doğrunun eğimi m = (y2-y1) / (x2-x1) formülü ile bulunur. A(1, 4) ve B(-2, -5) için: m = (-5 - 4) / (-2 - 1) m = (-9) / (-3) m = 3'tür.

Çözüm: Eğim açısı 45° ise eğim (m) = tan(45°) = 1'dir. Bir noktası (x1, y1) ve eğimi m olan doğrunun denklemi y - y1 = m(x - x1) formülü ile bulunur. A(2, -3) ve m=1 için: y - (-3) = 1(x - 2) y + 3 = x - 2 y = x - 5 olur.

Çözüm: Bir nokta bir doğru üzerinde bulunuyorsa, noktanın koordinatları doğrunun denklemini sağlamalıdır. P(3, k) noktasını 2x - y + 4 = 0 denkleminde yerine yazalım: 2(3) - k + 4 = 0 6 - k + 4 = 0 10 - k = 0 k = 10 olur.

Çözüm: İki doğru paralel ise eğimleri eşittir (m1 = m2) veya genel denklemleri Ax + By + C = 0 şeklinde ise A1/A2 = B1/B2 ≠ C1/C2 olmalıdır. d1: 3x - ay + 5 = 0 için A1=3, B1=-a d2: 6x + 2y - 1 = 0 için A2=6, B2=2 3/6 = -a/2 1/2 = -a/2 1 = -a a = -1 olur.

Çözüm: d1: 2x - 3y + 1 = 0 doğrusunun eğimi m1 = - (2) / (-3) = 2/3'tür. Bu doğruya dik olan bir doğrunun eğimi m2 için m1 * m2 = -1 olmalıdır. (2/3) * m2 = -1 => m2 = -3/2'dir. Eğimi -3/2 olan ve A(1, 4) noktasından geçen doğrunun denklemi y - y1 = m(x - x1) formülü ile bulunur: y - 4 = (-3/2)(x - 1) 2(y - 4) = -3(x - 1) 2y - 8 = -3x + 3 3x + 2y - 11 = 0 olur.

Çözüm: Bir (x0, y0) noktasının Ax + By + C = 0 doğrusuna olan uzaklığı d = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²) formülü ile bulunur. A(1, 2) noktası ve 3x + 4y - 1 = 0 doğrusu için: d = |3(1) + 4(2) - 1| / √(3² + 4²) d = |3 + 8 - 1| / √(9 + 16) d = |10| / √25 d = 10 / 5 = 2 birimdir.

Çözüm: Tabanı x eksenine paralel olan AB doğru parçasının uzunluğu |5-1| = 4 birimdir. Bu tabana ait yükseklik ise C noktasının y koordinatı ile AB doğrusunun y koordinatı arasındaki farkın mutlak değeri kadardır, yani |5-1|=4 birimdir. Üçgenin alanı = (Taban * Yükseklik) / 2 = (4 * 4) / 2 = 16 / 2 = 8 birimkaredir.

Çözüm: A(x1, y1) noktasının B(a, b) noktasına göre simetriği C(x2, y2) ise, B noktası [AC] doğru parçasının orta noktasıdır. Yani, a = (x1+x2)/2 ve b = (y1+y2)/2. A(2, -3), B(-1, 4) için: -1 = (2 + x2)/2 => -2 = 2 + x2 => x2 = -4 4 = (-3 + y2)/2 => 8 = -3 + y2 => y2 = 11 Simetrik nokta (-4, 11)'dir.

Çözüm: Merkezi (a, b) ve yarıçapı r olan çemberin denklemi (x-a)² + (y-b)² = r² şeklindedir. Merkez M(3, -2) ve yarıçap r=4 için: (x-3)² + (y-(-2))² = 4² (x-3)² + (y+2)² = 16 olur.

Çözüm: Doğruların kesişim noktasını bulmak için denklem sistemi çözülür. 1) 2x + y = 7 2) x - 2y = -4 Birinci denklemi 2 ile çarpalım: 4x + 2y = 14. Şimdi bu denklemi ikinci denklemle toplayalım: (4x + 2y) + (x - 2y) = 14 + (-4) 5x = 10 x = 2 x = 2 değerini birinci denklemde yerine yazalım: 2(2) + y = 7 => 4 + y = 7 => y = 3. Kesişim noktasının koordinatları (2, 3)'tür.

Çözüm: Yansıma kanununa göre, gelen ışının normalle yaptığı açı, yansıyan ışının normalle yaptığı açıya eşittir. Bu durumu analitik düzlemde, A noktasının x eksenine göre simetriği olan A' noktasını kullanarak çözebiliriz. Gelen ışın A noktasından x eksenine, yansıyan ışın x ekseninden B noktasına gider. Bu durum, A' noktasından B noktasına giden bir doğru gibi düşünülebilir ve x eksenini kestiği nokta, ışının çarptığı noktadır. A(1, 6) noktasının x eksenine göre simetriği A'(1, -6)'dır. Şimdi, A'(1, -6) ve B(5, 2) noktalarından geçen doğrunun x eksenini kestiği noktayı bulalım. Bu doğrunun eğimi (m) = (2 - (-6)) / (5 - 1) = 8 / 4 = 2'dir. A'(1, -6) noktasını ve eğimi kullanarak doğrunun denklemini yazalım (y - y1 = m(x - x1)): y - (-6) = 2(x - 1) y + 6 = 2x - 2 2x - y - 8 = 0 Işının x eksenine çarptığı nokta (y=0) olduğundan, y yerine 0 yazalım: 2x - 0 - 8 = 0 2x = 8 x = 4 Işının x eksenine çarptığı noktanın apsisi 4'tür.