9. sınıf matematik 9. sınıf matematik Kümeler testi ve çözümleri

Çözüm: Bir topluluğun küme olabilmesi için elemanlarının kesin ve net bir şekilde belirlenebilmesi gerekir. 'Sınıfımızdaki bazı uzun boylu öğrenciler' ifadesi net bir tanım içermez. Kime göre uzun olduğu, 'bazı' ifadesinin hangi öğrencileri kapsadığı belirsizdir. Diğer seçeneklerdeki toplulukların elemanları ise açıkça belirlenebilir. Bu nedenle doğru cevap B'dir.

Çözüm: Bir elemanın bir kümeye ait olduğunu '∈' sembolü, ait olmadığını ise '∉' sembolü gösterir. 'Bursa' elemanı A kümesinin içindedir, yani Bursa ∈ A'dır. Bu nedenle 'Bursa ∉ A' ifadesi yanlıştır. Diğer ifadeler doğrudur. |A| = 3 ifadesi A kümesinin eleman sayısının 3 olduğunu gösterir.

Çözüm: B kümesi, 20'den küçük ve 3'ün katı olan doğal sayıları içermektedir. Doğal sayılar 0'dan başlar. Bu sayılar 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18'dir. 21 sayısı 20'den büyük olduğu için kümenin elemanı değildir. Dolayısıyla kümenin liste yöntemiyle gösterimi B = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18}'dir.

Çözüm: Kümenin elemanları virgüllerle ayrılan ifadelerdir. Bu kümenin elemanları 1, 2, {3}, {4, 5} şeklindedir. I. 1 ∈ A (Doğru, 1 kümenin elemanıdır.) II. {3} ∈ A (Doğru, {3} bir bütün olarak kümenin elemanıdır.) III. 3 ∈ A (Yanlış, 3 değil, {3} kümenin elemanıdır.) IV. {4, 5} ⊂ A (Yanlış, {4, 5} kümenin elemanıdır, alt kümesi değildir. Alt küme olması için {{4,5}} ⊂ A yazılmalıydı.) V. |A| = 4 (Doğru, kümenin 4 farklı elemanı vardır: 1, 2, {3}, {4, 5}). Doğru olan ifadeler I, II ve V olmak üzere 3 tanedir.

Çözüm: Bir kümenin eleman sayısı n ise, alt küme sayısı 2^n, öz alt küme sayısı ise 2^n - 1'dir. A kümesinin eleman sayısı |A| = 3'tür. Alt küme sayısı = 2^3 = 8 Öz alt küme sayısı = 2^3 - 1 = 7 Fark = 8 - 7 = 1'dir.

Çözüm: Öncelikle A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle yazalım: A = {2, 3, 5, 7} (10'dan küçük asal sayılar) B = {1, 2, 3, 4, 6, 12} (12'nin pozitif tam sayı bölenleri) A ∪ B (A birleşim B) kümesi, A veya B kümelerindeki tüm elemanların bir araya getirilmesiyle oluşur ve aynı elemanlar bir kez yazılır. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12} Bu kümenin eleman sayısı |A ∪ B| = 8'dir.

Çözüm: Bir A kümesinin tümleyeni olan A', evrensel küme E içinde olup A kümesinde olmayan elemanlardan oluşur. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 3, 5, 7, 9} A' = E - A = {2, 4, 6, 8, 10} A' kümesinin eleman sayısı |A'| = 5'tir.

Çözüm: A ∩ B kümesi, her iki kümede de ortak olan elemanları içerir. Sayı doğrusunda kesişim, her iki aralığın örtüştüğü bölgedir. A = {x | -2 ≤ x < 5} B = {x | 3 < x ≤ 7} Her iki koşulu sağlayan x değerleri için: x, 3'ten büyük olmalı (3 < x) ve x, 5'ten küçük olmalı (x < 5). Yani 3 < x < 5. Bu aralık (3, 5) olarak ifade edilir. Bu nedenle doğru cevap B'dir.

Çözüm: Küme işlemlerinin özelliklerini hatırlayalım: A) Bir kümenin boş küme ile birleşimi, kümenin kendisine eşittir. (Doğru) B) Bir kümenin boş küme ile kesişimi, boş kümeye eşittir. (Doğru) C) Bir kümenin kendisiyle birleşimi, kümenin kendisine eşittir. (Doğru) D) Bir kümenin kendisiyle kesişimi, kümenin kendisine eşittir. (Doğru) E) Bir A kümesinden boş kümeyi çıkarmak, A kümesinin kendisini verir (A - ∅ = A). 'A - ∅ = ∅' ifadesi yanlıştır.

Çözüm: Bir A kümesini, B kümesi ile olan ilişkisine göre iki ayrık parçaya ayırabiliriz: A'nın B'de olmayan kısmı (A B) ve A'nın B ile ortak olan kısmı (A ∩ B). Bu iki ayrık parçanın birleşimi bize A kümesinin tamamını verir. (A B) ∪ (A ∩ B) = A Alternatif olarak: A B = A ∩ B' olduğu için (A ∩ B') ∪ (A ∩ B) = A ∩ (B' ∪ B) (Dağılma özelliği) = A ∩ E (E evrensel küme) = A Doğru cevap A'dır.

Çözüm: Matematikten başarılı olanların kümesi M, fizikten başarılı olanların kümesi F olsun. |M| = 18 |F| = 15 |M ∩ F| = 8 (Her iki dersten başarılı olanlar) Sadece matematik dersinden başarılı olanlar, matematik dersinden başarılı olanlardan her iki dersten başarılı olanların çıkarılmasıyla bulunur: |M F| = |M| - |M ∩ F| |M F| = 18 - 8 = 10 Bu sınıfta sadece matematik dersinden başarılı olan 10 öğrenci vardır.

Çözüm: Bir kümenin eleman sayısı ile tümleyeninin eleman sayısı toplamı, evrensel kümenin eleman sayısına eşittir. |B| + |B'| = |E| Verilen değerleri yerine yazalım: |B| + 10 = 20 |B| = 20 - 10 |B| = 10 Bu nedenle doğru cevap B'dir.

Çözüm: Tenis oynayanların kümesi T, voleybol oynayanların kümesi V olsun. |T| = 15 |V| = 12 |T ∩ V| = 5 (Her iki sporu da yapanlar) En az bir spor yapanların sayısı, |T ∪ V| formülü ile bulunur: |T ∪ V| = |T| + |V| - |T ∩ V| |T ∪ V| = 15 + 12 - 5 |T ∪ V| = 27 - 5 = 22 Bu grupta en az bir spor yapan 22 öğrenci vardır.

Çözüm: De Morgan kurallarına göre (A ∪ B)' = A' ∩ B'dir. Bu kuralı verilen ifadede uygulayalım: (A ∪ B)' ∩ C = (A' ∩ B') ∩ C Kesişim işleminin birleşme özelliği olduğundan, parantezleri kaldırabiliriz: = A' ∩ B' ∩ C Bu ifade aynı zamanda C kümesinin A ve B'nin birleşiminde olmayan elemanları demektir, yani C (A ∪ B)'ye denktir. Ancak seçeneklerde bu şekilde ayrılmış bir ifade olarak A şıkkında verilmiştir. Doğru cevap A'dır.

Çözüm: A kümesinin eleman sayısı |A| = 6'dır. Alt kümelerde 1 elemanı bulunacağı için 1'i kümeye dahil ederiz ve geriye kalan elemanlar arasından seçim yaparız. Alt kümelerde 6 elemanı bulunmayacağı için 6'yı eleme havuzundan çıkarırız. Geriye kalan elemanlar: {2, 3, 4, 5} kümesidir. Bu kümenin eleman sayısı 4'tür. Bu 4 elemanla oluşturulabilecek tüm alt küme sayıları 2^4 = 16'dır. Ancak soruda '1 bulunur, 6 bulunmaz' deniyor. 1'i kümeye dahil edeceğiz, 6'yı kesinlikle almayacağız. Geriye {2, 3, 4, 5} elemanları kalır. Bu 4 elemanla 2^4 = 16 tane alt küme oluşturulur. Her bir alt kümeye 1'i eklediğimizde koşulu sağlayan alt kümeler elde ederiz. Örneğin, {2, 3} bir alt küme ise, {1, 2, 3} koşulu sağlayan bir alt kümedir. Dolayısıyla 2^4 = 16 olması gerekir. Tekrar kontrol edelim: 1'i kümeye koyduk. 6'yı almadık. Geriye {2,3,4,5} elemanları kaldı. Bu 4 eleman ile 2^4=16 farklı alt küme oluşturulabilir. Bu alt kümelerin her birine 1'i ekleyerek, hem 1'i içeren hem de 6'yı içermeyen alt kümeleri elde ederiz. Bu durumda cevap 16'dır. Seçeneklerde 16 yoksa, ben yanlış anlamışım veya seçenekler hatalıdır. Bir daha kontrol edelim. Hmm, seçeneklerde 16 var (B şıkkı). Doğru cevap 16'dır. Yanlışlıkla A şıkkını işaretlemişim, düzeltiyorum. Cevap 16, yani B şıkkı.

Çözüm: Küme işlemlerinin temel formüllerinden biri şudur: |A ∪ B| = |A B| + |B A| + |A ∩ B| Verilen değerleri formülde yerine koyalım: 15 = 5 + 7 + |A ∩ B| 15 = 12 + |A ∩ B| |A ∩ B| = 15 - 12 |A ∩ B| = 3 Doğru cevap A'dır.

Çözüm: Önce A kümesini belirleyelim: |x-3| < 2 demek, -2 < x-3 < 2 demektir. Her tarafa 3 eklersek: -2 + 3 < x-3 + 3 < 2 + 3 1 < x < 5 Dolayısıyla A = (1, 5) aralığıdır. Şimdi B kümesini belirleyelim: x² - 4x + 3 ≤ 0 eşitsizliğini çözmeliyiz. Önce kökleri bulalım: (x-1)(x-3) = 0 x = 1 veya x = 3 İşaret tablosu yaparsak (veya parabolün kolları yukarı olduğundan kökler arasında negatif değerler alır): x | -∞ 1 3 +∞ -----|---------------------- x²-4x+3| + | - | + Eşitsizlik ≤ 0 dediği için, x 1 ile 3 dahil aralığındadır. Dolayısıyla B = [1, 3] aralığıdır. Şimdi A ∩ B'yi bulalım: A = (1, 5) = {x | 1 < x < 5} B = [1, 3] = {x | 1 ≤ x ≤ 3} Her iki aralığın kesişimi: En büyük alt sınır: max(1, 1) = 1 (ama A'da dahil değil, B'de dahil) En küçük üst sınır: min(5, 3) = 3 (B'de dahil, A'da dahil değil) Kesişimde elemanların her iki kümede de bulunması gerektiğinden, alt sınır 1'den büyük olmalı ve üst sınır 3'e eşit veya küçük olmalı. Yani 1 < x ≤ 3. Bu aralık (1, 3] olarak ifade edilir. Doğru cevap B'dir. (Yanlış işaretlenmiş, düzeltiyorum. A şıkkı [1,3) değil, B şıkkı (1,3])

Çözüm: Venn şemasını incelediğimizde taralı bölge, C kümesinin içindedir ancak A ve B kümelerinin hiçbir elemanını içermez. Yani C kümesinin, A ve B kümelerinin birleşimi olan (A ∪ B) kısmının dışında kalan elemanlarıdır. Bu durum C (A ∪ B) olarak ifade edilir. Seçenek A) A ∩ B' ∩ C: Bu ifade De Morgan'dan C ∩ (A ∪ B)' ile aynıdır, yani C kümesinden A veya B'de olanları çıkarmak anlamına gelir. C) C (A ∪ B) tam olarak taralı bölgeyi ifade eder. Doğru cevap C'dir.

Çözüm: De Morgan kurallarına göre (A ∪ B)' = A' ∩ B'dir. İfadeyi yerine yazalım: (A' ∩ B') ∩ B Kesişim işleminin birleşme özelliğini kullanarak parantezleri değiştirebiliriz: A' ∩ (B' ∩ B) Bir kümenin kendisinin tümleyeniyle kesişimi boş kümedir (B' ∩ B = ∅). A' ∩ ∅ Bir kümenin boş küme ile kesişimi her zaman boş kümedir (A' ∩ ∅ = ∅). Doğru cevap C'dir.

Çözüm: Sınıfın tamamı %100 olsun. T Türkçe'den başarılı olanlar, M Matematik'ten başarılı olanlar kümesi olsun. |T| = %60 |M| = %40 |T' ∩ M'| = (T ∪ M)' = %20 (Her iki dersten başarısız olanlar, yani hiçbir dersten başarılı olmayanlar) Bu durumda en az bir dersten başarılı olanların oranı: |T ∪ M| = %100 - %20 = %80 Şimdi |T ∩ M|'yi (her iki dersten başarılı olanları) bulmak için formülü kullanalım: |T ∪ M| = |T| + |M| - |T ∩ M| %80 = %60 + %40 - |T ∩ M| %80 = %100 - |T ∩ M| |T ∩ M| = %100 - %80 |T ∩ M| = %20 Her iki dersten de başarılı olan öğrenci oranı %20'dir.