8. sınıf matematik 8. sınıf matematik Olasılık testi ve çözümleri

Çözüm: Torbadaki toplam bilye sayısı 4 (kırmızı) + 3 (mavi) + 2 (sarı) = 9'dur. Her bir rengin çekilme olasılığı, o renkteki bilye sayısının toplam bilye sayısına oranıdır. - Kırmızı bilye çekme olasılığı: 4/9 - Mavi bilye çekme olasılığı: 3/9 - Sarı bilye çekme olasılığı: 2/9 - Yeşil bilye torbada olmadığı için çekilme olasılığı 0'dır (imkansız olay). - Kırmızı veya sarı bilye çekme olasılığı: (4+2)/9 = 6/9. Seçenekleri karşılaştıralım: - A) 3/9 - B) 2/9 - C) 4/9 - D) 0/9 - E) 6/9 En yüksek olasılık 6/9 ile E seçeneğidir. Ancak soru 'olaylardan hangisinin gerçekleşme olasılığı en fazladır' diye sorup renkler arasında kıyas yapmamızı istiyor ve E seçeneği bileşik bir olay. Tek bir renge odaklanıldığında Kırmızı bilye çekme olasılığı (4/9) diğer tek renk olasılıklarından (Mavi 3/9, Sarı 2/9) daha fazladır. Eğer E şıkkını ayrı bir seçenek olarak ele alırsak, en fazla olasılık E şıkkındadır. Ancak MEB 5-6. sınıf düzeyinde bu tür sorularda genellikle tekil olaylar karşılaştırılır ve 'en fazla olan' renk sorulur. Bu bağlamda, kırmızı bilye çekmek tekil olaylar arasında en yüksek olasılığa sahiptir. Soruyu daha net hale getirelim ve kırmızı bilye çekme olasılığını tek renk olarak en yüksek kabul edelim. Doğru cevap tekil olaylar arasında en fazla olasılığa sahip olan C) Kırmızı bilye çekmektir (4/9). Eğer E şıkkı 'Kırmızı veya Sarı' olmasaydı ve sadece tek renkler olsaydı, C şıkkı kesinlikle doğru olurdu. **Revize edilmiş çözüm:** 5-6. sınıf düzeyinde, öğrencilerden genellikle basit olayların olasılıklarını karşılaştırmaları beklenir. 'Kırmızı veya sarı bilye çekmek' bileşik bir olaydır ve olasılığı 6/9'dur. 'Kırmızı bilye çekmek' basit bir olaydır ve olasılığı 4/9'dur. Seçeneklerdeki olaylar tekil olaylar olarak ele alınırsa kırmızı, mavi, sarı karşılaştırılır. Eğer soru 'olaylardan' derken seçeneklerdeki tüm durumları kastediyorsa, 6/9 en büyüktür. Ancak 5-6. sınıf müfredatında bu kadar karmaşık karşılaştırmalar yerine, 'en çok olan renk' gibi basit ifadeler beklenir. Bu durumda, Kırmızı bilye sayısı en fazla olduğu için, Kırmızı bilye çekme olasılığı tekil olaylar içinde en fazladır. Soruda bir ambiguity mevcut. Şıklardan hangisinin olasılığı en fazla diye yorumlarsak E şıkkı (6/9) en fazladır. Ama genelde bu tip sorularda renk sayıları karşılaştırılır. MEB kitaplarındaki tipik örneklerde 'en fazla bilye olan renk hangisidir' gibi sorular olur. Kırmızı bilye sayısı 4 olduğu için, 3 mavi ve 2 sarıya göre daha fazla olduğundan, kırmızı bilye çekme olasılığı daha fazladır. Bu yorumla C doğrudur. Eğer E şıkkını 'Kırmızı veya Sarı bilye çekme' olasılığı olarak değerlendirirsek, (4+2)/9 = 6/9 olur ki bu 4/9'dan büyüktür. MEB 5-6. sınıf düzeyinde genellikle 'Daha fazla, daha az, eşit olasılıklı olaylar' kazanımına uygun olarak basit olayların karşılaştırılması beklenir. Bu durumda kırmızı bilye sayısı en fazla olduğu için kırmızı bilye çekme olasılığı en fazladır. Yeşil bilye çekme olasılığı imkansız olaydır. E seçeneğindeki ifade birleşmiş bir olayı temsil eder. Soru genellikle basit olaylar arasında karşılaştırma ister. Bu durumda kırmızı (4/9) en yüksek olasılıktır. **Kesinleştirilmiş çözüm:** 5-6. sınıf düzeyinde, öğrenciler genellikle tekil olayların olasılıklarını karşılaştırır. Bu durumda, torbada en fazla sayıda Kırmızı bilye (4 adet) olduğu için, rastgele çekilen bir bilyenin Kırmızı olma olasılığı (4/9) diğer renklerin olasılıklarından (Mavi: 3/9, Sarı: 2/9) daha fazladır. Yeşil bilye çekme olasılığı ise 0'dır. E seçeneği ('Kırmızı veya sarı bilye çekmek') bileşik bir olaydır ve olasılığı (4+2)/9 = 6/9'dur. Bu, diğer tekil olaylardan daha büyük bir olasılıktır. Ancak MEB 5-6. sınıf kazanımlarında temel karşılaştırmalar hedeflendiği için, genellikle 'hangi renk bilye gelme olasılığı daha fazladır?' gibi tekil olay sorularına odaklanılır. Bu sorunun formatı nedeniyle, seçeneklerdeki tüm olayların olasılıklarını değerlendirmeliyiz. Kırmızı bilye çekme olasılığı: 4/9 Mavi bilye çekme olasılığı: 3/9 Sarı bilye çekme olasılığı: 2/9 Yeşil bilye çekme olasılığı: 0 Kırmızı veya sarı bilye çekme olasılığı: 6/9 Bu durumda olasılığı en fazla olan olay, E seçeneğindeki 'Kırmızı veya sarı bilye çekmek' olayıdır (6/9).

Çözüm: Bir zar atıldığında gelebilecek olası sonuçlar (örneklem uzayı): {1, 2, 3, 4, 5, 6} şeklindedir. Toplam olası sonuç sayısı 6'dır. 3'ten büyük sayılar kümesi (olay): {4, 5, 6} şeklindedir. Olayın eleman sayısı 3'tür. Olasılık = (İstenilen durum sayısı) / (Tüm durumların sayısı) = 3/6 = 1/2. Doğru cevap C'dir.

Çözüm: İmkansız olay, gerçekleşme olasılığı sıfır olan olaydır. - A) Madeni para atıldığında yazı veya tura gelebilir, bu kesin olaydır. - B) Yedi katlı bir binanın en üst katı yedinci kattır. Sekizinci katı olmadığı için bu kattan düşmek imkansızdır. Bu imkansız bir olaydır. - C) Yarın havanın güneşli olması mümkün bir olaydır, olasılığı 0 ile 1 arasındadır. - D) Eğer torbada sadece mavi ve kırmızı toplar varsa, çekilen topun mavi veya kırmızı olması kesin olaydır. Eğer başka renkler varsa da mümkün bir olaydır. - E) Bir haftanın 7 gün olması kesin olaydır. Doğru cevap B'dir.

Çözüm: Toplam öğrenci sayısı: 25 Erkek öğrenci sayısı: 13 İstenilen durum (erkek öğrenci seçilmesi) sayısı: 13 Tüm olası durumların sayısı: 25 Erkek öğrenci seçme olasılığı = (Erkek öğrenci sayısı) / (Toplam öğrenci sayısı) = 13/25. Doğru cevap B'dir.

Çözüm: Kırmızı top sayısı = 5 Mavi top sayısı = 4 Yeşil top sayısı = x Toplam top sayısı = 5 + 4 + x = 9 + x Kırmızı top çekme olasılığı = (Kırmızı top sayısı) / (Toplam top sayısı) 1/3 = 5 / (9 + x) Denklemi çözelim: 1 * (9 + x) = 3 * 5 9 + x = 15 x = 15 - 9 x = 6 Torbadaki yeşil top sayısı 6'dır. Doğru cevap D'dir.

Çözüm: Bir madeni paranın art arda 3 kez atılmasında tüm olası sonuçlar (örneklem uzayı): {YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT}. Toplam 2^3 = 8 olası durum vardır. 'En az bir kez tura gelme' olayının tersi, 'hiç tura gelmemesi' yani 'üç kez yazı gelmesi' olayıdır (YYY). Hiç tura gelmeme olasılığı = (1 durum) / (8 durum) = 1/8. 'En az bir kez tura gelme' olasılığı = 1 - (Hiç tura gelmeme olasılığı) = 1 - 1/8 = 7/8. Doğru cevap D'dir.

Çözüm: Toplam ampul sayısı = 6 Bozuk ampul sayısı = 2 Sağlam ampul sayısı = 6 - 2 = 4 Kutudan rastgele 2 ampul seçilmesinin tüm olası yolları (kombinasyon): C(6, 2) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15. Seçilen 2 ampulün de sağlam olmasını istiyoruz. Sağlam ampul sayısı 4'tür. 4 sağlam ampul arasından 2 sağlam ampul seçilmesinin yolları: C(4, 2) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3) / (2 * 1) = 6. İstenilen durum olasılığı = (İstenilen durum sayısı) / (Tüm durumların sayısı) = 6/15. Doğru cevap D'dir.

Çözüm: Erkek öğrenci oranı = 0.70 Kız öğrenci oranı = 0.30 Erkek öğrencilerin gözlüklü olma oranı = 0.20 Kız öğrencilerin gözlüklü olma oranı = 0.40 İstenilen durum, 'gözlüklü bir kız öğrenci' olmasıdır. Bu, 'kız öğrenci olma' ve 'gözlüklü olma' olaylarının kesişimidir. Kız öğrenci olma olasılığı (P(K)) = 0.30 Bir kız öğrencinin gözlüklü olma koşullu olasılığı (P(Gözlüklü|K)) = 0.40 Gözlüklü ve kız öğrenci olma olasılığı = P(K) * P(Gözlüklü|K) = 0.30 * 0.40 = 0.12. Doğru cevap C'dir.

Çözüm: Bu, koşullu olasılık veya toplam olasılık teoremi ile çözülebilir. İlk çekilen topun kırmızı olma durumu (K1) ve beyaz olma durumu (B1) vardır. P(İkinci top Kırmızı) = P(K1 ve K2) + P(B1 ve K2) 1. Durum: İlk top kırmızı (K1) ve ikinci top kırmızı (K2). P(K1) = 3/5 İlk top kırmızı çekilince torbada 2 kırmızı, 2 beyaz top kalır. Toplam 4 top. P(K2|K1) = 2/4 = 1/2 P(K1 ve K2) = P(K1) * P(K2|K1) = (3/5) * (1/2) = 3/10 2. Durum: İlk top beyaz (B1) ve ikinci top kırmızı (K2). P(B1) = 2/5 İlk top beyaz çekilince torbada 3 kırmızı, 1 beyaz top kalır. Toplam 4 top. P(K2|B1) = 3/4 P(B1 ve K2) = P(B1) * P(K2|B1) = (2/5) * (3/4) = 6/20 = 3/10 Toplam olasılık: P(İkinci top Kırmızı) = P(K1 ve K2) + P(B1 ve K2) = 3/10 + 3/10 = 6/10 = 3/5. Bu tür sorularda, çekilen topun sırası önemli değilse ve tüm toplar özdeşse, ikinci topun belirli bir renkte olma olasılığı, ilk topun o renkte olma olasılığına eşittir. P(K2) = P(K1) = 3/5'tir. Bu durum, 'simetri' ilkesi olarak bilinir. Doğru cevap A'dır.

Çözüm: Bağımsız olaylarda, A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı (P(A ve B)), ayrı ayrı gerçekleşme olasılıklarının çarpımına eşittir. P(A ve B) = P(A) * P(B) Verilenler: P(A) = 0.4 P(B) = 0.5 P(A ve B) = 0.4 * 0.5 = 0.20 = 0.2. Doğru cevap B'dir.

Çözüm: Bu bir Bayes Teoremi sorusudur. P(Grip) = 0.60 P(Alerji) = 0.40 P(Ateşli|Grip) = 0.10 (Grip olanlardan ateşli olanların oranı) P(Ateşli|Alerji) = 0.05 (Alerji olanlardan ateşli olanların oranı) Önce, hastaneye gelen rastgele bir hastanın ateşli olma olasılığını (P(Ateşli)) bulalım: P(Ateşli) = P(Ateşli|Grip) * P(Grip) + P(Ateşli|Alerji) * P(Alerji) P(Ateşli) = (0.10 * 0.60) + (0.05 * 0.40) P(Ateşli) = 0.06 + 0.02 = 0.08 Şimdi, hastanın ateşli olduğu bilindiğine göre grip olma olasılığını (P(Grip|Ateşli)) bulalım: P(Grip|Ateşli) = [P(Ateşli|Grip) * P(Grip)] / P(Ateşli) P(Grip|Ateşli) = (0.10 * 0.60) / 0.08 P(Grip|Ateşli) = 0.06 / 0.08 P(Grip|Ateşli) = 6/8 = 3/4. Doğru cevap D'dir.

Çözüm: Permütasyon ve kombinasyon, olasılık hesaplamalarında istenilen durum sayısını ve tüm olası durum sayısını belirlemede kritik öneme sahiptir. - Permütasyon (sıralama), elemanların diziliş sırasının önemli olduğu durumlarda kullanılır (örneğin, birincilik, ikincilik seçimi veya harf dizilişleri). - Kombinasyon (seçme), elemanların sadece seçilmesinin önemli olduğu, sırasının önemli olmadığı durumlarda kullanılır (örneğin, bir gruptan belirli sayıda kişi seçmek veya bir torbadan top çekmek). Doğru cevap B'dir.

Çözüm: Toplam ana yemek seçeneği: 4 Toplam tatlı seçeneği: 3 'Izgara Somon' ana yemeğini seçme olasılığı: 1/4 (çünkü 4 ana yemekten sadece biri Izgara Somon) 'Sütlaç' tatlısını seçme olasılığı: 1/3 (çünkü 3 tatlıdan sadece biri Sütlaç) Ana yemek seçimi ile tatlı seçimi bağımsız olaylardır. Bu nedenle, her ikisinin de gerçekleşme olasılığı, ayrı ayrı olasılıkların çarpımına eşittir. P(Izgara Somon ve Sütlaç) = P(Izgara Somon) * P(Sütlaç) = (1/4) * (1/3) = 1/12. Doğru cevap A'dır.

Çözüm: Olasılığın temel özelliklerine göre: - A) Bir olayın gerçekleşme olasılığı (P(A)), 0 ≤ P(A) ≤ 1 aralığında olmak zorundadır. Bu ifade doğrudur. - B) Gerçekleşmesi kesin olan olayın olasılığı 1'dir. Bu ifade doğrudur. - C) Gerçekleşmesi imkansız olan olayın olasılığı 0'dır. Bu ifade doğrudur. - D) Bir A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) ve gerçekleşmeme olasılığı P(A') ise, P(A) + P(A') = 1'dir. Bu ifade doğrudur. - E) Olasılık değeri negatif olamaz. Her zaman 0 veya 0'dan büyük bir değer olmalıdır. Bu ifade yanlıştır. Doğru cevap E'dir.

Çözüm: Toplam öğrenci sayısı = 15 (erkek) + 10 (kız) = 25 Bu sınıftan rastgele 2 öğrenci seçme tüm olası durumları: C(25, 2) = (25 * 24) / (2 * 1) = 25 * 12 = 300. İstenilen durum: Bir erkek ve bir kız öğrenci seçilmesi. 15 erkek arasından 1 erkek seçimi: C(15, 1) = 15 10 kız arasından 1 kız seçimi: C(10, 1) = 10 Bir erkek ve bir kız seçme sayısı = C(15, 1) * C(10, 1) = 15 * 10 = 150. Olasılık = (İstenilen durum sayısı) / (Tüm durumların sayısı) = 150 / 300 = 1/2. Doğru cevap A'dır.

Çözüm: Bu bir permütasyon sorusudur çünkü harflerin sırası önemlidir. 4 farklı harf kullanılarak 4 haneli kelime oluşturulacaktır. Tekrar yok. 1. konum için 4 seçenek (A, B, C, D) 2. konum için kalan 3 seçenek 3. konum için kalan 2 seçenek 4. konum için kalan 1 seçenek Toplam kelime sayısı = 4 * 3 * 2 * 1 = 4! = 24. Doğru cevap C'dir.

Çözüm: Toplam ekmek çeşidi sayısı = 5 Tam buğday ekmeği çeşidi sayısı = 2 Rastgele seçilen bir ekmeğin tam buğday ekmeği olma olasılığı = (Tam buğday ekmeği sayısı) / (Toplam ekmek çeşidi sayısı) = 2/5. Doğru cevap B'dir.

Çözüm: Toplam kalem sayısı = 4 (kırmızı) + 5 (mavi) + 3 (sarı) = 12. Mavi kalem çekme olasılığı (P(Mavi)) = (Mavi kalem sayısı) / (Toplam kalem sayısı) = 5/12. Çekilen kalemin mavi olmaması olasılığı (P(Mavi değil)) = 1 - P(Mavi) = 1 - 5/12 = (12 - 5) / 12 = 7/12. Alternatif olarak, mavi olmaması demek kırmızı veya sarı olması demektir. P(Kırmızı veya Sarı) = (Kırmızı kalem sayısı + Sarı kalem sayısı) / (Toplam kalem sayısı) = (4 + 3) / 12 = 7/12. Doğru cevap B'dir.

Çözüm: Nişancının hedefi vurma olasılığı P(V) = 0.6 Nişancının hedefi vurmama olasılığı P(V') = 1 - P(V) = 1 - 0.6 = 0.4 İstenilen durum: Sadece ilk atışta vurma, yani ilk atışta vurup ikinci atışta vurmama. Bu iki olay bağımsızdır. P(İlk atışta Vurma VE İkinci atışta Vurmama) = P(V) * P(V') = 0.6 * 0.4 = 0.24. Doğru cevap B'dir.

Çözüm: Toplam pozisyon sayısı = 10 Yöneticilik pozisyon sayısı = 3 Uzmanlık pozisyon sayısı = 10 - 3 = 7 Toplam 10 kişi arasından rastgele 3 kişi seçme tüm olası durumları: C(10, 3) C(10, 3) = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1) = 10 * 3 * 4 = 120. Seçilen 3 kişinin de uzmanlık pozisyonları için başvuru yapmış olması isteniyor. Uzmanlık pozisyonu için başvuru yapan 7 kişi vardır. 7 kişi arasından 3 uzman seçme sayısı: C(7, 3) C(7, 3) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 7 * 5 = 35. Olasılık = (İstenilen durum sayısı) / (Tüm durumların sayısı) = 35 / 120. Kesirli ifadeyi sadeleştirelim (her iki tarafı 5'e bölelim): 35 / 120 = 7 / 24. Doğru cevap C'dir.