8. sınıf matematik 8. sınıf matematik Kareköklü İfadeler testi ve çözümleri

Çözüm: Bir sayının tam kare olması için başka bir tam sayının karesi olması gerekir. Seçenekleri inceleyelim: $144 = 12^2$ $196 = 14^2$ $225 = 15^2$ $256 = 16^2$ $280$ ise hiçbir tam sayının karesi değildir. Örneğin $16^2 = 256$ ve $17^2 = 289$ olduğundan $280$ bir tam kare sayı değildir. Doğru cevap E seçeneğidir.

Çözüm: Karenin alanı bir kenar uzunluğunun karesi alınarak bulunur. Yani, bir kenar uzunluğuna $a$ dersek, Alan $= a^2$ olur. Verilen alan $169$ cm² olduğuna göre, $a^2 = 169$ denklemini çözmeliyiz. Hangi sayının karesi $169$ eder sorusunun cevabı $13$'tür ($13 imes 13 = 169$). Dolayısıyla, tarlanın bir kenar uzunluğu $13$ cm'dir. Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: $ sqrt{70}$ sayısının hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulmak için $70$'e en yakın tam kare sayıları bulmalıyız. $8^2 = 64$ $9^2 = 81$ $64 < 70 < 81$ olduğundan, $ sqrt{64} < sqrt{70} < sqrt{81}$ eşitliği geçerlidir. Bu da $8 < sqrt{70} < 9$ anlamına gelir. Dolayısıyla, $ sqrt{70}$ sayısı $8$ ile $9$ tam sayıları arasındadır. Doğru cevap C seçeneğidir.

Çözüm: $ sqrt{72}$ sayısını $asqrt{b}$ şeklinde yazmak için $72$'yi çarpanlarına ayırırız ve tam kare olan çarpanları kök dışına çıkarırız. $72 = 36 imes 2$ $ sqrt{72} = sqrt{36 imes 2} = sqrt{36} imes sqrt{2} = 6sqrt{2}$ Burada $a=6$ ve $b=2$'dir. $a$ en büyük değerini almıştır çünkü $36$, $72$'nin en büyük tam kare çarpanıdır. Şimdi $a+b$ değerini hesaplayalım: $a+b = 6+2 = 8$. Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için kök içindeki sayıların aynı olması gerekir. Burada tüm ifadelerin kök içi aynıdır ($ sqrt{5}$). Bu durumda katsayılar arasında toplama ve çıkarma işlemi yapılır, köklü ifade aynen yazılır. $3sqrt{5} + 2sqrt{5} - 1sqrt{5} = (3+2-1)sqrt{5} = 4sqrt{5}$ Doğru cevap A seçeneğidir.

Çözüm: Kareköklü ifadelerde çarpma işlemi yaparken, kök içindeki sayılar çarpılır ve kök içine yazılır. $ sqrt{3} cdot sqrt{12} = sqrt{3 cdot 12} = sqrt{36}$ $ sqrt{36}$ ifadesinin değeri ise $6$'dır, çünkü $6^2 = 36$. Doğru cevap D seçeneğidir.

Çözüm: Kareköklü ifadelerde bölme işlemi yaparken, kök içindeki sayılar bölünür ve kök içine yazılır. $ frac{sqrt{98}}{sqrt{2}} = sqrt{frac{98}{2}} = sqrt{49}$ $ sqrt{49}$ ifadesinin değeri ise $7$'dir, çünkü $7^2 = 49$. Doğru cevap C seçeneğidir.

Çözüm: Ondalık sayıların karekökünü alırken, önce ondalık sayıyı kesir olarak yazmak işlemi kolaylaştırır. $ sqrt{0,04} = sqrt{frac{4}{100}} = frac{sqrt{4}}{sqrt{100}} = frac{2}{10} = 0,2$ $ sqrt{0,16} = sqrt{frac{16}{100}} = frac{sqrt{16}}{sqrt{100}} = frac{4}{10} = 0,4$ Şimdi bu iki değeri toplayalım: $0,2 + 0,4 = 0,6$ Doğru cevap C seçeneğidir.

Çözüm: İrrasyonel sayılar, virgülden sonraki ondalık kısmı devirli olmayan veya düzenli tekrar etmeyen sonsuz basamağa sahip olan, $a/b$ şeklinde ( $a, b$ tam sayı ve $b neq 0$) yazılamayan sayılardır. Tam kare olmayan sayıların karekökleri irrasyoneldir. Pi ($ pi$) sayısı da bilinen bir irrasyonel sayıdır. Seçenekleri inceleyelim: A) $ sqrt{7}$: $7$ tam kare değildir, dolayısıyla $ sqrt{7}$ irrasyoneldir. B) $ pi$: Bilinen bir irrasyonel sayıdır. C) $ sqrt{24}$: $24$ tam kare değildir ($ sqrt{24} = 2sqrt{6}$), dolayısıyla $ sqrt{24}$ irrasyoneldir. D) $ sqrt{0,09}$: Bu ifadeyi kesir olarak yazalım: $ sqrt{frac{9}{100}} = frac{sqrt{9}}{sqrt{100}} = frac{3}{10} = 0,3$. Bu bir rasyonel sayıdır ($a/b$ şeklinde yazılabilir). E) $ sqrt{11}$: $11$ tam kare değildir, dolayısıyla $ sqrt{11}$ irrasyoneldir. Doğru cevap D seçeneğidir.

Çözüm: Karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun $4$ katıdır. Öncelikle $ sqrt{180}$ ifadesini $asqrt{b}$ şeklinde yazarak sadeleştirelim. $180 = 36 times 5$ $ sqrt{180} = sqrt{36 times 5} = sqrt{36} times sqrt{5} = 6sqrt{5}$ cm. Şimdi karenin çevresini bulmak için bu uzunluğu $4$ ile çarpalım: Çevre $= 4 times (6sqrt{5}) = (4 times 6)sqrt{5} = 24sqrt{5}$ cm. Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: Kareköklü ifadeleri karşılaştırırken, katsayıları kök içine alarak tüm sayıları tek bir kök içinde yazmak karşılaştırmayı kolaylaştırır. A) $2sqrt{10} = sqrt{2^2 cdot 10} = sqrt{4 cdot 10} = sqrt{40}$ B) $3sqrt{5} = sqrt{3^2 cdot 5} = sqrt{9 cdot 5} = sqrt{45}$ C) $4sqrt{3} = sqrt{4^2 cdot 3} = sqrt{16 cdot 3} = sqrt{48}$ D) $5sqrt{2} = sqrt{5^2 cdot 2} = sqrt{25 cdot 2} = sqrt{50}$ E) $ sqrt{42}$ zaten kök içindedir. Şimdi kök içindeki sayıları karşılaştıralım: $40, 45, 48, 50, 42$. Bu sayılar arasında en büyüğü $50$'dir. Dolayısıyla $ sqrt{50}$ en büyük sayıdır. Bu da D seçeneğindeki $5sqrt{2}$'ye karşılık gelir. Doğru cevap D seçeneğidir.

Çözüm: Paydada köklü ifade bulunduğunda, paydayı rasyonel yapmak için paydayı kendisiyle (veya eşleniğiyle) çarparız. Bu durumda pay ve paydayı $ sqrt{3}$ ile çarpalım. $ frac{6}{sqrt{3}} = frac{6 cdot sqrt{3}}{sqrt{3} cdot sqrt{3}} = frac{6sqrt{3}}{3}$ Şimdi sadeleştirme yapalım: $ frac{6sqrt{3}}{3} = 2sqrt{3}$ Doğru cevap C seçeneğidir.

Çözüm: Köklü bir ifadeyi üslü ifadeye çevirirken $ sqrt[n]{a^m} = a^{frac{m}{n}}$ kuralını kullanırız. Burada $a=2$, $m=6$ ve $n=3$'tür. $ sqrt[3]{2^6} = 2^{frac{6}{3}} = 2^2$ $2^2 = 4$ Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: İç içe köklü ifadelerde, en içteki kökten başlayarak işlem yapılır. En içteki kök $ sqrt{16}$'dır. $ sqrt{16} = 4$. Şimdi bu değeri yerine yazalım: $ sqrt{5+4} = sqrt{9}$ $ sqrt{9} = 3$ Doğru cevap A seçeneğidir.

Çözüm: Paydada iki terimli köklü ifade bulunduğunda, paydayı rasyonel yapmak için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız. $ sqrt{3}-1$'in eşleniği $ sqrt{3}+1$'dir. $ frac{1}{sqrt{3}-1} = frac{1 cdot (sqrt{3}+1)}{(sqrt{3}-1) cdot (sqrt{3}+1)}$ Paydada iki kare farkı özdeşliğini kullanırız: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. $ (sqrt{3}-1)(sqrt{3}+1) = (sqrt{3})^2 - 1^2 = 3-1 = 2$ Böylece ifade şu hale gelir: $ frac{sqrt{3}+1}{2}$ Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: Denklemi çözmek için her iki tarafın karesini almalıyız. Ancak köklü denklemlerde, kök içindeki ifadenin negatif olmaması gerektiğini unutmayalım. Yani $x+2 ge 0 Rightarrow x ge -2$ olmalıdır. $ (sqrt{x+2})^2 = 3^2$ $x+2 = 9$ $x = 9-2$ $x = 7$ Bulduğumuz $x=7$ değeri $x ge -2$ koşulunu sağladığı için çözüm kümesine dahildir. Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: Bir sayının karesinin karekökü, o sayının mutlak değerine eşittir: $ sqrt{a^2} = |a|$. İlk ifade: $ sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$. İkinci ifadeyi hesaplayalım: $ (2-7)^2 = (-5)^2 = 25$ $ sqrt{(2-7)^2} = sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$. Şimdi iki sonucu toplayalım: $5 + 5 = 10$. Doğru cevap D seçeneğidir.

Çözüm: Farklı dereceli köklü ifadelerle işlem yaparken, ifadeleri üslü biçimde yazmak kolaylık sağlar. $ sqrt{27} = sqrt{3^3} = 3^{frac{3}{2}}$ (Karekökün derecesi 2'dir) $ sqrt[3]{81} = sqrt[3]{3^4} = 3^{frac{4}{3}}$ Şimdi bu iki üslü ifadeyi çarpalım. Tabanlar aynı olduğunda üsler toplanır. $3^{frac{3}{2}} cdot 3^{frac{4}{3}} = 3^{frac{3}{2} + frac{4}{3}}$ Üsleri toplayalım: Paydaları eşitleyelim (6'da eşitlenir). $ frac{3}{2} + frac{4}{3} = frac{3 cdot 3}{2 cdot 3} + frac{4 cdot 2}{3 cdot 2} = frac{9}{6} + frac{8}{6} = frac{9+8}{6} = frac{17}{6}$ Dolayısıyla işlemin sonucu $3^{frac{17}{6}}$'dır. Doğru cevap D seçeneğidir.

Çözüm: Köklü eşitsizlikleri çözerken iki temel adımı uygulamalıyız: 1. **Tanım kümesi:** Karekök içindeki ifade negatif olamaz. Bu nedenle $x-3 ge 0 Rightarrow x ge 3$ olmalıdır. 2. **Eşitsizliğin çözümü:** Her iki tarafın karesini alalım. $ (sqrt{x-3})^2 < 2^2$ $x-3 < 4$ $x < 7$ Şimdi bu iki koşulu birleştirelim: $x ge 3$ ve $x < 7$. Bu durumda $3 le x < 7$ aralığındaki tam sayılar çözümdür. Bu tam sayılar: $3, 4, 5, 6$. Bu tam sayıların toplamı: $3+4+5+6 = 18$. Doğru cevap C seçeneğidir.

Çözüm: Bu ifadeyi çözmek için iki farklı yöntem kullanabiliriz: **Yöntem 1: Tam kare açılımları** $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ Buna göre: $ (sqrt{5}+sqrt{3})^2 = (sqrt{5})^2 + 2sqrt{5}sqrt{3} + (sqrt{3})^2 = 5 + 2sqrt{15} + 3 = 8 + 2sqrt{15}$ $ (sqrt{5}-sqrt{3})^2 = (sqrt{5})^2 - 2sqrt{5}sqrt{3} + (sqrt{3})^2 = 5 - 2sqrt{15} + 3 = 8 - 2sqrt{15}$ Şimdi çıkarma işlemini yapalım: $ (8 + 2sqrt{15}) - (8 - 2sqrt{15}) = 8 + 2sqrt{15} - 8 + 2sqrt{15} = 4sqrt{15}$ **Yöntem 2: İki kare farkı özdeşliği** $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ özdeşliğini kullanabiliriz. Burada $a = (sqrt{5}+sqrt{3})$ ve $b = (sqrt{5}-sqrt{3})$'tür. $ ((sqrt{5}+sqrt{3}) - (sqrt{5}-sqrt{3})) cdot ((sqrt{5}+sqrt{3}) + (sqrt{5}-sqrt{3}))$ İlk parantez içi: $ sqrt{5}+sqrt{3} - sqrt{5} + sqrt{3} = 2sqrt{3}$ İkinci parantez içi: $ sqrt{5}+sqrt{3} + sqrt{5} - sqrt{3} = 2sqrt{5}$ Çarpalım: $ (2sqrt{3}) cdot (2sqrt{5}) = 2 cdot 2 cdot sqrt{3 cdot 5} = 4sqrt{15}$ Her iki yöntem de aynı sonucu vermiştir. Doğru cevap C seçeneğidir.