8. sınıf matematik 8. sınıf matematik Üslü İfadeler testi ve çözümleri – İnteraktif Test
1) 4'ün karesi ile 2'nin küpünün toplamı kaçtır?
Çözüm: 4'ün karesi demek 4 x 4 = 16 demektir. 2'nin küpü demek 2 x 2 x 2 = 8 demektir. Bu iki değerin toplamı 16 + 8 = 24'tür.
2) 'Beş üssü üç' ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: 'Beş üssü üç' ifadesi 5³ şeklinde yazılır ve 5 sayısının kendisiyle 3 defa çarpılması anlamına gelir. Yani 5 x 5 x 5 = 125'tir. Seçeneklerde bu çarpımı ifade eden D şıkkıdır.
3) $3^2 + 2 cdot 5 - 1^4$ işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: İşlem önceliğine göre önce üslü ifadeler hesaplanır: $3^2 = 9$ ve $1^4 = 1$. Sonra çarpma işlemi yapılır: $2 cdot 5 = 10$. En son toplama ve çıkarma işlemleri soldan sağa doğru yapılır: $9 + 10 - 1 = 19 - 1 = 18$.
4) Aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır?
Çözüm: Bir sayının 10'un kuvveti şeklinde yazılımında, üs kaç ise sayının sonunda o kadar sıfır bulunur. $10^2 = 100$ (2 sıfır), $10^4 = 10000$ (4 sıfır), $10^0 = 1$ (0 sıfır, özel durum), $10^1 = 10$ (1 sıfır). Ancak $10^3 = 1000$ (3 sıfır) olmalıdır, E şıkkındaki $10^3 = 10000$ ifadesi yanlıştır.
5) $(-2)^3 + 3^{-2}$ işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: $(-2)^3 = (-2) times (-2) times (-2) = -8$.
$3^{-2} = frac{1}{3^2} = frac{1}{9}$.
İşlemin sonucu: $-8 + frac{1}{9}$. Bu ifadeyi bileşik kesre çevirirsek: $-frac{72}{9} + frac{1}{9} = -frac{71}{9}$. Tam sayılı kesir olarak $-7 frac{8}{9}$'dur.
6) $2^5 cdot 4^2$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Tabanları aynı yapmak için $4$ sayısını $2^2$ olarak yazarız.
$4^2 = (2^2)^2 = 2^{2 cdot 2} = 2^4$.
Şimdi işlemi yeniden yazalım: $2^5 cdot 2^4$.
Tabanlar aynı olduğunda üsler toplanır: $2^{5+4} = 2^9$.
7) Dünya ile Güneş arasındaki ortalama mesafe yaklaşık 149.6 milyon kilometredir. Bu mesafenin bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: 149.6 milyon kilometre demek 149.600.000 kilometre demektir.
Bilimsel gösterimde katsayı 1 ile 10 arasında olmalıdır (1 dahil, 10 hariç).
149.600.000 sayısında virgülü sola doğru kaydırarak 1.496 haline getirmeliyiz.
Virgülü 8 basamak sola kaydırdığımız için $10^8$ ile çarpmamız gerekir.
Yani $1.496 times 10^8$ km.
8) $3 cdot 10^2 + 5 cdot 10^0 + 2 cdot 10^{-1} + 7 cdot 10^{-3}$ şeklinde çözümlenmiş ondalık sayı aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: $3 cdot 10^2 = 3 cdot 100 = 300$
$5 cdot 10^0 = 5 cdot 1 = 5$
$2 cdot 10^{-1} = 2 cdot frac{1}{10} = 0.2$
$7 cdot 10^{-3} = 7 cdot frac{1}{1000} = 0.007$
Bu değerleri toplarsak: $300 + 5 + 0.2 + 0.007 = 305.207$.
9) Bir bakteri kültüründeki bakteri sayısı her 20 dakikada bir 4 katına çıkmaktadır. Başlangıçta $2^5$ bakteri bulunan bir kültürde 2 saat sonunda kaç bakteri bulunur?
Çözüm: 2 saat = 120 dakika.
Her 20 dakikada bir bakteri sayısı 4 katına çıkıyorsa, 120 dakika içinde kaç defa katına çıktığını bulalım: $120 / 20 = 6$ defa.
Başlangıçtaki bakteri sayısı $2^5$.
Her seferinde 4 katına çıktığı için, 6 defa katına çıkması $4^6$ ile çarpmak demektir.
$4^6 = (2^2)^6 = 2^{12}$.
Toplam bakteri sayısı: $2^5 cdot 2^{12} = 2^{5+12} = 2^{17}$.
10) $frac{2^{2x+1} cdot 4^{x-1}}{8^{x+1}}$ ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Tüm tabanları 2 yapalım:
$4^{x-1} = (2^2)^{x-1} = 2^{2(x-1)} = 2^{2x-2}$
$8^{x+1} = (2^3)^{x+1} = 2^{3(x+1)} = 2^{3x+3}$
İfadeyi yeniden yazalım:
$frac{2^{2x+1} cdot 2^{2x-2}}{2^{3x+3}}$
Pay kısmındaki üsleri toplayalım: $2x+1 + 2x-2 = 4x-1$.
Payda kısmındaki üssü pay kısmının üssünden çıkaralım:
$(4x-1) - (3x+3) = 4x-1-3x-3 = x-4$.
Sonuç: $2^{x-4}$.
11) $sqrt[3]{2^6} cdot (frac{1}{4})^{frac{1}{2}}$ işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: $sqrt[3]{2^6} = 2^{frac{6}{3}} = 2^2 = 4$.
$(frac{1}{4})^{frac{1}{2}} = sqrt{frac{1}{4}} = frac{sqrt{1}}{sqrt{4}} = frac{1}{2}$.
İşlemin sonucu: $4 cdot frac{1}{2} = 2$.
12) $3^{2x-1} = 27^x$ denklemini sağlayan $x$ değeri kaçtır?
Çözüm: Denklemin her iki tarafını aynı tabana (3) dönüştürelim:
$27^x = (3^3)^x = 3^{3x}$.
Şimdi denklem: $3^{2x-1} = 3^{3x}$.
Tabanlar aynı olduğuna göre üsler de eşit olmalıdır:
$2x-1 = 3x$.
$-1 = 3x - 2x$.
$-1 = x$. Dolayısıyla $x = -1$.
13) $a = 2^{60}$, $b = 3^{40}$, $c = 5^{20}$ sayıları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
Çözüm: Sayıların üslerini eşitlemek için en büyük ortak bölenlerini (EBOB) bulalım: EBOB(60, 40, 20) = 20.
$a = 2^{60} = (2^3)^{20} = 8^{20}$
$b = 3^{40} = (3^2)^{20} = 9^{20}$
$c = 5^{20}$
Üsler aynı olduğunda, tabanı büyük olan sayı daha büyüktür.
Tabanlar: $c=5$, $a=8$, $b=9$.
Sıralama: $5^{20} < 8^{20} < 9^{20}$ yani $c < a < b$.
14) $frac{2^8 + 2^9 + 2^{10}}{2^6 + 2^7 + 2^8}$ işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: Hem payı hem de paydayı ortak çarpan parantezine alalım.
Pay: $2^8 + 2^9 + 2^{10} = 2^8(1 + 2^1 + 2^2) = 2^8(1 + 2 + 4) = 2^8 cdot 7$.
Payda: $2^6 + 2^7 + 2^8 = 2^6(1 + 2^1 + 2^2) = 2^6(1 + 2 + 4) = 2^6 cdot 7$.
İfadeyi yerine yazarsak: $frac{2^8 cdot 7}{2^6 cdot 7}$.
Ortak çarpan 7'ler sadeleşir: $frac{2^8}{2^6}$.
Tabanlar aynı olduğunda bölme işleminde üsler çıkarılır: $2^{8-6} = 2^2 = 4$.
15) $3^{2x} - 4 cdot 3^x + 3 = 0$ denklemini sağlayan $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm: $3^{2x} = (3^x)^2$ olduğunu fark edelim. $3^x = u$ değişken değiştirmesi yaparsak, denklem $u^2 - 4u + 3 = 0$ hâline gelir.
Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çarpanlarına ayıralım: $(u-1)(u-3) = 0$.
Buradan $u=1$ veya $u=3$ bulunur.
Şimdi $u$ yerine $3^x$ değerini geri yazalım:
1) $3^x = 1 implies 3^x = 3^0 implies x_1 = 0$.
2) $3^x = 3 implies 3^x = 3^1 implies x_2 = 1$.
Denklemi sağlayan $x$ değerleri 0 ve 1'dir. Bu $x$ değerlerinin toplamı $0 + 1 = 1$ olur.
16) $(frac{1}{2})^{x+1} < (frac{1}{4})^{x}$ eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm: Eşitsizliğin her iki tarafını aynı tabana dönüştürelim. Taban olarak $frac{1}{2}$ kullanalım.
$(frac{1}{4})^{x} = ((frac{1}{2})^2)^{x} = (frac{1}{2})^{2x}$.
Eşitsizlik: $(frac{1}{2})^{x+1} < (frac{1}{2})^{2x}$.
Taban $0 < text{taban} < 1$ aralığında olduğundan, eşitsizliği çözerken üslerin yönü değişir.
$x+1 > 2x$.
$1 > 2x-x$.
$1 > x$. Yani $x < 1$.
Bu eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı değeri 0'dır.
17) Bir radyoaktif maddenin başlangıçtaki miktarı $M_0$ gramdır. Her 10 yılda bir kütlesinin yarısını kaybeden bu maddenin $t$ yıl sonraki kütlesi $M(t) = M_0 cdot (frac{1}{2})^{frac{t}{10}}$ formülüyle hesaplanmaktadır. Başlangıçta 1024 gram olan bu maddeden 50 yıl sonra kaç gram kalır?
Çözüm: Verilen formül $M(t) = M_0 cdot (frac{1}{2})^{frac{t}{10}}$.
Başlangıç miktarı $M_0 = 1024$ gram.
Geçen süre $t = 50$ yıl.
Bu değerleri formülde yerine koyalım:
$M(50) = 1024 cdot (frac{1}{2})^{frac{50}{10}}$
$M(50) = 1024 cdot (frac{1}{2})^5$
$1024 = 2^{10}$ ve $(frac{1}{2})^5 = 2^{-5}$.
$M(50) = 2^{10} cdot 2^{-5} = 2^{10-5} = 2^5$.
$2^5 = 32$ gram.
18) $2^x = a$ ve $3^x = b$ olduğuna göre, $72^x$ ifadesinin $a$ ve $b$ cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: $72$ sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
$72 = 8 cdot 9 = 2^3 cdot 3^2$.
Şimdi $72^x$ ifadesini yazalım:
$72^x = (2^3 cdot 3^2)^x$.
Üslü ifadelerin özelliklerinden dolayı $(mn)^x = m^x n^x$ ve $(m^p)^x = (m^x)^p$ dir.
$72^x = (2^3)^x cdot (3^2)^x = (2^x)^3 cdot (3^x)^2$.
Verilenlere göre $2^x = a$ ve $3^x = b$ idi.
Bunları yerine yazarsak: $a^3 cdot b^2$.
19) $x^{x^2-4} = 1$ denklemini sağlayan $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm: Bir üslü ifade 1'e eşitse üç durum söz konusudur:
1. **Taban 1 ise:** $x=1$. Bu durumda üs ne olursa olsun sonuç 1 olur. ($1^{1^2-4} = 1^{-3} = 1$). Dolayısıyla $x=1$ bir çözümdür.
2. **Üs 0 ise:** $x^2-4 = 0$. Bu durumda taban 0 olmamalıdır. $x^2 = 4 implies x = 2$ veya $x = -2$.
* $x=2$ için: $2^{2^2-4} = 2^0 = 1$. Dolayısıyla $x=2$ bir çözümdür.
* $x=-2$ için: $(-2)^{(-2)^2-4} = (-2)^0 = 1$. Dolayısıyla $x=-2$ bir çözümdür.
3. **Taban -1 ise ve üs çift ise:** $x=-1$. Bu durumda üssün çift olup olmadığını kontrol etmeliyiz.
Üs $x^2-4 = (-1)^2-4 = 1-4 = -3$. -3 tek sayı olduğu için $(-1)^{-3} = frac{1}{(-1)^3} = frac{1}{-1} = -1 neq 1$. Dolayısıyla $x=-1$ bir çözüm değildir.
Çözüm kümesi: ${-2, 1, 2}$. Denklemi sağlayan $x$ değerlerinin toplamı: $-2 + 1 + 2 = 1$.
20) $4^x = 5$ olduğuna göre, $2^{2x+3}$ ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm: Verilen $4^x = 5$.
$2^{2x+3}$ ifadesini parçalayalım:
$2^{2x+3} = 2^{2x} cdot 2^3$.
$2^{2x} = (2^2)^x = 4^x$.
Bu durumda, $2^{2x} = 4^x = 5$.
Şimdi değeri yerine yazalım:
$2^{2x+3} = 5 cdot 2^3 = 5 cdot 8 = 40$.
Skor: 0/0 (0%)
Üslü İfadeler
Üslü İfadeler konusunda kapsamlı bir anlatım aşağıdadır.