7. sınıf matematik 7. sınıf matematik Cebirsel İfadeler testi ve çözümleri

Çözüm: Bir sayıya $x$ dersek, 3 fazlası $x+3$ olur. Bu ifadenin 2 katı ise $2(x+3)$ şeklinde yazılır. Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: Cebirsel ifadede $x$ yerine 7 yazarsak: $3(7)-5 = 21-5 = 16$. Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: Cebirsel ifadeleri sadeleştirirken benzer terimleri bir araya getiririz. $5x$ ve $-2x$ benzer terimlerdir. $5x-2x = 3x$. Diğer terimler ($3y$ ve $7$) benzer olmadığı için olduğu gibi kalır. İfade $3x+3y+7$ olur. Doğru cevap A seçeneğidir.

Çözüm: Eşkenar üçgenin 3 kenarı vardır ve her birinin uzunluğu $(x+4)$ cm'dir. Çevre, kenar uzunluklarının toplamı veya 3 ile çarpımı ile bulunur: $3 times (x+4)$. Dağılma özelliğini uygulayarak $3x+12$ sonucunu elde ederiz. Doğru cevap C seçeneğidir.

Çözüm: Defterler için ödenen para: $4(2x+1) = 8x+4$ TL. Kalemler için ödenen para: $3(x-2) = 3x-6$ TL. Toplam ödenen para, bu iki miktarın toplamıdır: $(8x+4) + (3x-6) = 8x+3x+4-6 = 11x-2$ TL. Doğru cevap A seçeneğidir.

Çözüm: A) İfade $3x^2$, $-5x$ ve $7$ olmak üzere üç terimden oluşur. (Doğru) B) Değişken içermeyen terim olan 7, sabit terimdir. (Doğru) C) $x^2$'li terim $3x^2$'dir ve katsayısı 3'tür. (Doğru) D) $x$'li terim $-5x$'tir ve katsayısı -5'tir. Bu seçenekte katsayının 5 olduğu belirtilmiştir, bu yanlıştır. E) Katsayılar 3, -5 ve 7'dir. Katsayılar toplamı $3 + (-5) + 7 = 5$'tir. (Doğru) Yanlış ifade D seçeneğidir.

Çözüm: Çarpma işlemini dağılma özelliği ile yaparız: $(2x-3)(x+4) = 2x(x+4) - 3(x+4)$ $= 2x^2 + 8x - 3x - 12$ Benzer terimleri toplarsak: $= 2x^2 + (8-3)x - 12$ $= 2x^2 + 5x - 12$. Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: Büyük karenin alanı $(x+5)^2$ ve küçük karenin alanı $(x-2)^2$'dir. Kalan alan, bu iki alanın farkıdır: $(x+5)^2 - (x-2)^2$. Bu ifade, $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ özdeşliğine benzerdir. Burada $a=(x+5)$ ve $b=(x-2)$'dir. $(x+5)^2 - (x-2)^2 = ((x+5)-(x-2)) cdot ((x+5)+(x-2))$ $= (x+5-x+2) cdot (x+5+x-2)$ $= (7) cdot (2x+3)$ $= 14x+21$. Doğru cevap D seçeneğidir.

Çözüm: Her iki terimdeki ortak çarpanları bulalım. 12 ve 18 sayılarının en büyük ortak böleni 6'dır. $ab^2$ ve $a^2b$ ifadelerinin ortak çarpanı $ab$'dir. O halde, ortak çarpan $6ab$'dir. İfadeyi $6ab$ parantezine alırsak: $12ab^2 - 18a^2b = 6ab(2b - 3a)$. Doğru cevap A seçeneğidir.

Çözüm: Bir ifade $(x+k)^2$ şeklinde bir tam kare ise, açılımı $x^2 + 2kx + k^2$ şeklindedir. Verilen ifadede $k^2 = 81$ olduğundan, $k$'nin pozitif değeri $k=9$'dur. Ortadaki terim $Ax$ ise, $Ax = 2kx$ olmalıdır. Buradan $A = 2k$ elde ederiz. $A = 2 times 9 = 18$. Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: Polinom farkını bulmak için $Q(x)$ polinomunun her teriminin işaretini değiştirip $P(x)$ ile toplarız: $P(x) - Q(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5) - (x^3 + 2x^2 - 3x + 1)$ $= 3x^3 - 2x^2 + 5 - x^3 - 2x^2 + 3x - 1$ Benzer terimleri gruplandırıp toplarsak: $= (3x^3 - x^3) + (-2x^2 - 2x^2) + 3x + (5 - 1)$ $= 2x^3 - 4x^2 + 3x + 4$. Doğru cevap A seçeneğidir.

Çözüm: İfadeyi çarpanlara ayırmak için terimleri uygun şekilde gruplandırırız: $ax - by + bx - ay$ Terimleri yeniden düzenleyelim: $ax + bx - ay - by$ İlk iki terimi $x$ parantezine alalım: $x(a+b)$ Son iki terimi $-y$ parantezine alalım: $-y(a+b)$ Şimdi ortak çarpan $(a+b)$ olduğu için ifadeyi $(a+b)$ parantezine alırsak: $(a+b)(x-y)$. Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: Pay kısmını çarpanlarına ayıralım ($a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ özdeşliği): $x^2-9 = (x-3)(x+3)$. Payda kısmını çarpanlarına ayıralım ($x^2+bx+c = (x+m)(x+n)$ ve $m times n = c$, $m+n=b$ kuralı): $x^2-x-12$. Çarpımları -12, toplamları -1 olan iki sayı -4 ve 3'tür. Yani $x^2-x-12 = (x-4)(x+3)$. Şimdi ifadeyi sadeleştirelim: $frac{(x-3)(x+3)}{(x-4)(x+3)}$ $(x+3)$ çarpanları sadeleşir (çünkü $x neq -3$ olduğunda bu çarpan sıfır olmaz). Kalan ifade: $frac{x-3}{x-4}$. Doğru cevap A seçeneğidir.

Çözüm: Çarpma işlemini dağılma özelliği ile yaparız: $x^2(x-1) - 3x(x-1) + 2(x-1)$ $= (x^3 - x^2) - (3x^2 - 3x) + (2x - 2)$ Parantezleri açıp benzer terimleri toplarsak: $= x^3 - x^2 - 3x^2 + 3x + 2x - 2$ $= x^3 + (-1-3)x^2 + (3+2)x - 2$ $= x^3 - 4x^2 + 5x - 2$. Doğru cevap A seçeneğidir.

Çözüm: $ax^2+bx+c$ formundaki üç terimli ifadeleri çarpanlara ayırırken, $ax^2$ ve $c$ terimlerinin çarpanlarını çaprazlama çarpıp $bx$ terimini elde etmeye çalışırız. $2x^2 + 5x - 3$ Çarpanları ararken: $2x quad -1$ $x quad +3$ Çapraz çarpımların toplamını kontrol edelim: $(2x)(3) + (-1)(x) = 6x - x = 5x$. Bu, ortadaki terimi ($5x$) veriyor. Demek ki çarpanlar $(2x-1)$ ve $(x+3)$'tür. Doğru cevap A seçeneğidir.

Çözüm: Tam kare özdeşliğini kullanalım: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Verilen değerleri bu özdeşlikte yerine yazalım: $36 = a^2 + b^2 + 2(8)$ $36 = a^2 + b^2 + 16$ $a^2 + b^2$ ifadesini yalnız bırakırsak: $a^2 + b^2 = 36 - 16$ $a^2 + b^2 = 20$. Doğru cevap A seçeneğidir.

Çözüm: Öncelikle parantez içindeki çıkarma işlemini yapalım. Paydaları $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ ile eşitleyelim: $frac{1}{x-1} - frac{1}{x+1} = frac{1 cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)} - frac{1 cdot (x-1)}{(x+1)(x-1)}$ $= frac{(x+1) - (x-1)}{x^2-1}$ $= frac{x+1-x+1}{x^2-1}$ $= frac{2}{x^2-1}$. Şimdi bölme işlemini yapalım. Bir ifadeyi bölmek, bölenin çarpmaya göre tersi ile çarpmak demektir: $frac{2}{x^2-1} div frac{2}{x^2-1} = frac{2}{x^2-1} times frac{x^2-1}{2}$. Bu çarpımda pay ve paydadaki ortak terimler $(x^2-1)$ ve $2$ sadeleşir. Sonuç 1 olur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Çözüm: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$ özdeşliğini kullanalım. Verilen değerleri yerine yazalım: $26 = 2 cdot (x^2 + xy + y^2)$ Her iki tarafı 2'ye bölersek: $13 = x^2 + xy + y^2$ (Denklem 1) Ayrıca, $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ özdeşliğini biliyoruz. Verilen $x-y=2$ değerini yerine yazarsak: $2^2 = x^2 + y^2 - 2xy$ $4 = x^2 + y^2 - 2xy$ (Denklem 2) Denklem 1'den $x^2+y^2$ ifadesini $13-xy$ olarak çekebiliriz. Bunu Denklem 2'ye yerleştirelim: $4 = (13 - xy) - 2xy$ $4 = 13 - 3xy$ $3xy = 13 - 4$ $3xy = 9$ $xy = 3$. Doğru cevap A seçeneğidir.

Çözüm: Öncelikle bahçenin çevresini bulalım. Çevre, iki uzun kenar ve iki kısa kenarın toplamıdır: Çevre = $2 times (text{uzun kenar} + text{kısa kenar})$ Çevre = $2 times ((2x+3) + (x-1))$ Parantez içindeki ifadeleri toplayalım: $(2x+x) + (3-1) = 3x+2$. Şimdi 2 ile çarpalım: Çevre = $2 times (3x+2) = 6x+4$ metre. Bahçenin etrafına iki sıra tel çekileceği için toplam tel uzunluğu çevrenin 2 katı olacaktır: Toplam tel = $2 times (6x+4)$ metre Toplam tel = $12x+8$ metre. Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: Verilen denklem $a^2-3a-1=0$. Bu denklemde $a=0$ olamayacağı için denklemin her tarafını $a$'ya bölebiliriz: $frac{a^2}{a} - frac{3a}{a} - frac{1}{a} = frac{0}{a}$ $a - 3 - frac{1}{a} = 0$ $a - frac{1}{a} = 3$. Şimdi $a^2+frac{1}{a^2}$ ifadesini bulmak için elde ettiğimiz $a - frac{1}{a} = 3$ denkleminin her iki tarafının karesini alalım: $left(a - frac{1}{a}right)^2 = 3^2$ $a^2 - 2 cdot a cdot frac{1}{a} + left(frac{1}{a}right)^2 = 9$ $a^2 - 2 + frac{1}{a^2} = 9$ $-2$ terimini karşıya atarsak: $a^2 + frac{1}{a^2} = 9 + 2$ $a^2 + frac{1}{a^2} = 11$. Doğru cevap B seçeneğidir.