5. sınıf matematik Kesirler testi ve çözümleri

Çözüm: Bir bütün 12 eş parçaya ayrılmış ve bu parçalardan 5 tanesi alınmıştır. Bu durum kesir olarak 5/12 şeklinde ifade edilir. Doğru cevap A seçeneğidir.

Çözüm: Kesirleri karşılaştırmak için paydalarını eşitleyebiliriz veya ondalık gösterimlerine bakabiliriz. 3/4 = 0.75 A) 1/2 = 0.5 (küçük) B) 5/8 = 0.625 (küçük) C) 2/3 ≈ 0.666 (küçük) D) 7/8 = 0.875 (büyük) E) 4/6 = 2/3 ≈ 0.666 (küçük) Doğru cevap D seçeneğidir.

Çözüm: Öğrencinin çözdüğü toplam soru miktarını bulmak için verilen kesirleri toplamamız gerekir. 2/5 + 1/10 Paydaları eşitlemek için 2/5 kesrini 2 ile genişletiriz: (2*2)/(5*2) = 4/10 Şimdi toplama işlemini yapabiliriz: 4/10 + 1/10 = 5/10 5/10 kesri sadeleştirildiğinde 1/2 olur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Çözüm: Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yapılırken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. (-3/4) * (2/5) = (-3 * 2) / (4 * 5) = -6 / 20 Bu kesir sadeleştirildiğinde -3/10 olur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: İşlem önceliğine göre önce parantez içindeki toplama işlemi yapılır. 1/2 + 1/3 = (3*1)/(3*2) + (2*1)/(2*3) = 3/6 + 2/6 = 5/6 Şimdi bölme işlemini yapalım: (5/6) ÷ (1/6) Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılırken birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır. 5/6 * 6/1 = (5 * 6) / (6 * 1) = 30 / 6 = 5 Doğru cevap A seçeneğidir.

Çözüm: Havuzun doluluk oranı 2/5'ten 4/5'e çıktığında eklenen su miktarı 60 litredir. Doluluk oranındaki artış: 4/5 - 2/5 = 2/5 Yani havuzun 2/5'i 60 litreye karşılık gelmektedir. Eğer havuzun 2/5'i 60 litre ise, 1/5'i 60 / 2 = 30 litredir. Havuzun tamamı (5/5'i) 5 * 30 = 150 litre su alır. Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: Ayşe parasının 1/4'ünü kiraya harcamıştır. Geriye kalan parası: 1 - 1/4 = 3/4'üdür. Kalan parasının (3/4'ünün) 1/3'ünü faturalara harcamıştır: (1/3) * (3/4) = 3/12 = 1/4 Toplam harcadığı para: 1/4 (kira) + 1/4 (faturalar) = 2/4 = 1/2'sidir. Toplam parasının 1/2'sini harcadığına göre, geriye kalan para da 1 - 1/2 = 1/2'sidir. Bu kalan para 200 TL olduğuna göre, Ayşe'nin başlangıçtaki parası 200 * 2 = 400 TL'dir. Doğru cevap C seçeneğidir.

Çözüm: Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirme formülü: (Tüm sayı - Devretmeyen kısım) / (Devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0) Burada tüm sayı 27, devretmeyen kısım 0. Devreden basamak sayısı 2 (27), devretmeyen basamak sayısı 0. (27 - 0) / 99 = 27/99 Bu kesri sadeleştirmek için hem payı hem de paydayı 9'a böleriz: 27 ÷ 9 = 3 99 ÷ 9 = 11 Sonuç: 3/11 Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: Bir sayının 1/n kuvveti, o sayının n. dereceden kökünü (n. kökü) ifade eder. Yani (64)^(1/3) ifadesi, 64'ün küpkökünü (³√64) sormaktadır. Hangi sayının küpü 64 eder? 4 * 4 * 4 = 64. Dolayısıyla ³√64 = 4'tür. Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: Pay kısmındaki x^2 - 9 ifadesi iki kare farkı özdeşliğidir. a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) formülüne göre: x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3) Şimdi ifadeyi yeniden yazalım: ((x-3)(x+3)) / (x-3) x ≠ 3 olduğu için (x-3) sıfırdan farklıdır ve sadeleştirilebilir. Sonuç: x+3 Doğru cevap A seçeneğidir.

Çözüm: Denklemdeki kesirleri toplamak için paydaları eşitlememiz gerekir. 2 ve 3'ün en küçük ortak katı 6'dır. x/2'yi 3 ile, x/3'ü 2 ile genişletiriz: (3x)/6 + (2x)/6 = 5 (3x + 2x) / 6 = 5 5x / 6 = 5 Her iki tarafı 6 ile çarparız: 5x = 5 * 6 5x = 30 Her iki tarafı 5'e böleriz: x = 30 / 5 x = 6 Doğru cevap C seçeneğidir.

Çözüm: Bu tür karmaşık kesirlerde işlemeye en alttaki veya en içteki ifadeden başlanır. Önce parantez içindeki 2 - 1/2 işlemini yapalım: 2 - 1/2 = 4/2 - 1/2 = 3/2 Şimdi ifadeyi yeniden yazalım: 1 - 1 / (3/2) 1 / (3/2) ifadesi, 1'i 3/2'ye bölmek demektir, yani 1 * (2/3) = 2/3'tür. Son olarak: 1 - 2/3 1 - 2/3 = 3/3 - 2/3 = 1/3 Doğru cevap A seçeneğidir.

Çözüm: (x+5)/(x+2) ifadesini basitleştirelim: (x+5)/(x+2) = (x+2+3)/(x+2) = (x+2)/(x+2) + 3/(x+2) = 1 + 3/(x+2) Bu ifadenin bir tam sayı olabilmesi için 3/(x+2) ifadesinin de bir tam sayı olması gerekir. Bu da (x+2) ifadesinin 3'ün tam bölenlerinden biri olması gerektiği anlamına gelir. 3'ün tam bölenleri: {1, -1, 3, -3} Şimdi her bir durumu inceleyelim: 1) x+2 = 1 => x = -1 2) x+2 = -1 => x = -3 3) x+2 = 3 => x = 1 4) x+2 = -3 => x = -5 Bu durumda x'in alabileceği 4 farklı tam sayı değeri vardır: {-1, -3, 1, -5}. Doğru cevap C seçeneğidir.

Çözüm: Rasyonel eşitsizlikleri çözmek için kökleri bulup işaret tablosu oluştururuz. Payın kökü: x-2 = 0 => x = 2 Paydanın kökü: x+3 = 0 => x = -3 (Paydayı sıfır yaptığı için x ≠ -3 olmalıdır.) İşaret tablosu için kritik noktalar -3 ve 2'dir. Interval x-2 x+3 (x-2)/(x+3) (-∞, -3) - - + (Örn: x=-4, (-6)/(-1) = 6 > 0) (-3, 2) - + - (Örn: x=0, (-2)/(3) = -2/3 < 0) (2, +∞) + + + (Örn: x=3, (1)/(6) = 1/6 > 0) Eşitsizlik (x-2)/(x+3) ≥ 0 olduğu için pozitif veya sıfır olan aralıkları alırız. x=2 noktasında ifade sıfır olacağı için bu noktayı da dahil ederiz, ancak x=-3 paydayı sıfır yaptığı için dahil edilemez. Çözüm kümesi: (-∞, -3) U [2, +∞) Şimdi seçeneklerdeki tam sayıları bu aralıkta olup olmadıklarını kontrol edelim: A) -5: (-∞, -3) aralığındadır. (Bulunur) B) -4: (-∞, -3) aralığındadır. (Bulunur) C) 0: (-3, 2) aralığındadır, yani çözüm kümesinde bulunmaz. D) 2: [2, +∞) aralığındadır. (Bulunur) E) 3: [2, +∞) aralığındadır. (Bulunur) Doğru cevap C seçeneğidir.

Çözüm: Fonksiyonun pay kısmındaki ifade (x^2 - 16) bir iki kare farkıdır: x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4). Fonksiyonu yeniden yazalım: f(x) = ((x-4)(x+4)) / (x-4) x ≠ 4 olduğu için (x-4) terimi sıfırdan farklıdır ve sadeleştirilebilir. f(x) = x+4 (x ≠ 4 için) Bu fonksiyonun x=4 noktasındaki limit değeri, sadeleştirilmiş hali olan x+4 ifadesinde x yerine 4 yazılarak bulunur: Limit değeri = 4 + 4 = 8 Doğru cevap C seçeneğidir.

Çözüm: İşçi problemlerinde, birim zamanda yapılan iş miktarları toplanır. Can bir günde işin 1/8'ini yapar. Ece bir günde işin 1/12'sini yapar. İkisi birlikte bir günde işin (1/8 + 1/12)'sini yaparlar. Paydaları eşitleyelim (8 ve 12'nin EKOK'u 24'tür): 1/8 + 1/12 = (3*1)/(3*8) + (2*1)/(2*12) = 3/24 + 2/24 = 5/24 Yani ikisi birlikte bir günde işin 5/24'ünü yaparlar. İşin tamamını bitirme süresi, birim zamanda yapılan iş miktarının tersidir: Tamamı = 1 / (5/24) = 24/5 gün 24/5 = 4.8 gün Doğru cevap A seçeneğidir.

Çözüm: Deponun toplam hacmi V olsun. Başlangıçta V/4'ü doludur. 15 litre eklendiğinde 2V/3'ü doluyor. Denklemi kuralım: V/4 + 15 = 2V/3 15 = 2V/3 - V/4 Sağ taraftaki kesirlerin paydalarını eşitleyelim (3 ve 4'ün EKOK'u 12'dir): 15 = (4*2V)/(4*3) - (3*V)/(3*4) 15 = 8V/12 - 3V/12 15 = 5V/12 Her iki tarafı 12 ile çarpalım: 15 * 12 = 5V 180 = 5V Her iki tarafı 5'e bölelim: V = 180 / 5 V = 36 litre Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: Toplam öğrenci sayısı = 40 Erkek öğrenci sayısı = (3/5) * 40 = 3 * (40/5) = 3 * 8 = 24 öğrenci. Kız öğrenci sayısı = Toplam öğrenci - Erkek öğrenci = 40 - 24 = 16 öğrenci. Matematikten başarılı erkek öğrenci sayısı = (1/4) * 24 = 6 öğrenci. Matematikten başarılı kız öğrenci sayısı = (3/4) * 16 = 3 * (16/4) = 3 * 4 = 12 öğrenci. Matematikten başarılı olan toplam öğrenci sayısı = Başarılı erkek + Başarılı kız = 6 + 12 = 18 öğrenci. Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: Topun başlangıçta bırakıldığı yükseklik H olsun. Birinci zıplayış sonrası yükseklik: H * (2/3) İkinci zıplayış sonrası yükseklik: H * (2/3) * (2/3) = H * (2/3)^2 Üçüncü zıplayış sonrası yükseklik: H * (2/3)^3 Dördüncü zıplayış sonrası yükseklik: H * (2/3)^4 Bu dördüncü zıplayış sonrası ulaşılan yükseklik 16 cm olduğuna göre: H * (2/3)^4 = 16 H * (16/81) = 16 Her iki tarafı 16 ile bölelim: H * (1/81) = 1 H = 81 cm Doğru cevap C seçeneğidir.

Çözüm: Manavın başlangıçtaki elma miktarı X kg olsun. 1. adım: 1/4'ünü satıyor. Kalan miktar: X - X/4 = 3X/4 2. adım: Kalan elmaların 2/5'i çürüyor. Çürüyen miktar: (2/5) * (3X/4) = 6X/20 = 3X/10 Sağlam kalan elma miktarı: (3X/4) - (3X/10) Paydaları eşitleyelim (4 ve 10'un EKOK'u 20'dir): (15X/20) - (6X/20) = 9X/20 3. adım: Sağlam kalan elmaların 1/3'ünü daha satıyor. Satılan miktar: (1/3) * (9X/20) = 3X/20 Son olarak geriye kalan elma miktarı: (9X/20) - (3X/20) = 6X/20 = 3X/10 Bu kalan miktar 90 kg olduğuna göre: 3X/10 = 90 3X = 90 * 10 3X = 900 X = 900 / 3 X = 300 kg Doğru cevap D seçeneğidir.