9. sınıf matematik 9. sınıf matematik Denklemler ve Eşitsizlikler testi ve çözümleri – İnteraktif Test
1) Bir sepetteki elmaların sayısının 3 fazlası 15'tir. ifadesini anlatan denklem aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Sepetteki elma sayısına 'x' dersek, 'sayısının 3 fazlası' ifadesi 'x + 3' olarak yazılır. Bu ifadenin 15'e eşit olduğu belirtildiğinden, denklem x + 3 = 15 şeklinde kurulur.
2) 2x + 5 = 17 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözüm: Denklemi çözmek için adımlar:
1. Eşitliğin her iki tarafından 5 çıkaralım: 2x + 5 - 5 = 17 - 5 ⇒ 2x = 12
2. Eşitliğin her iki tarafını 2'ye bölelim: 2x / 2 = 12 / 2 ⇒ x = 6.
3) Bir sınıftaki öğrencilerin yarısının 7 fazlası 23'tür. Bu sınıfta kaç öğrenci vardır?
Çözüm: Sınıftaki öğrenci sayısına 'x' diyelim.
'Öğrencilerin yarısı': x/2
'Yarısının 7 fazlası': x/2 + 7
Bu ifade 23'e eşit olduğuna göre: x/2 + 7 = 23
Denklemi çözelim:
x/2 = 23 - 7
x/2 = 16
x = 16 * 2
x = 32. Sınıfta 32 öğrenci vardır.
4) Bir sayının 4 katının 5 eksiği, aynı sayının 2 katının 9 fazlasından küçüktür. ifadesini anlatan eşitsizlik ve bu eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Sayıya 'x' diyelim.
'Sayının 4 katının 5 eksiği': 4x - 5
'Aynı sayının 2 katının 9 fazlası': 2x + 9
'Birincisi ikincisinden küçüktür': 4x - 5 < 2x + 9
Eşitsizliği çözelim:
4x - 2x < 9 + 5
2x < 14
x < 7
x, 7'den küçük tam sayılar olabilir. Bu durumda x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 6'dır.
5) Bir marangoz, elindeki tahta çubuğu 5 eş parçaya böldüğünde her bir parçanın uzunluğu x cm oluyor. Eğer bu çubuğu 7 eş parçaya bölseydi, her bir parça 4 cm daha kısa olacaktı. Buna göre, x kaçtır?
Çözüm: Tahta çubuğun toplam uzunluğu aynıdır.
5 eş parçaya bölündüğünde her parça x cm ise, çubuğun uzunluğu 5x cm'dir.
7 eş parçaya bölündüğünde her parça (x-4) cm ise, çubuğun uzunluğu 7(x-4) cm'dir.
Bu iki uzunluk eşit olduğuna göre:
5x = 7(x - 4)
5x = 7x - 28
28 = 7x - 5x
28 = 2x
x = 14.
6) Bir otobüste 30 yolcu bulunmaktadır. Bu otobüse her durakta 2 yolcu biner ve 1 yolcu inerse, kaç durak sonra otobüsteki yolcu sayısı 40'tan fazla olur?
Çözüm: Başlangıçta 30 yolcu var.
Her durakta net yolcu değişimi: +2 (binen) - 1 (inen) = +1 yolcu.
Geçen durak sayısına 'd' diyelim.
'd' durak sonra otobüsteki yolcu sayısı: 30 + d
Yolcu sayısının 40'tan fazla olması isteniyor:
30 + d > 40
d > 40 - 30
d > 10
d, 10'dan büyük bir tam sayı olmalı. Bu durumda 'd' en az 11 olabilir. Dolayısıyla 11 durak sonra yolcu sayısı 40'tan fazla olur.
7) x + y = 7 2x - y = 8 Yukarıdaki denklem sistemini sağlayan (x, y) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Denklemleri taraf tarafa toplama metodu ile çözelim:
1. Denklem: x + y = 7
2. Denklem: 2x - y = 8
İki denklemi taraf tarafa toplarsak 'y' değişkeni sadeleşir:
(x + y) + (2x - y) = 7 + 8
3x = 15
x = 5
x = 5 değerini ilk denklemde yerine koyalım:
5 + y = 7
y = 7 - 5
y = 2
Çözüm kümesi (x, y) = (5, 2)'dir.
8) (x - 3)(x + 2) = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olduğuna göre, x₁ + x₂ toplamı kaçtır?
Çözüm: Bir çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
1. çarpanı sıfıra eşitleyelim: x - 3 = 0 ⇒ x₁ = 3
2. çarpanı sıfıra eşitleyelim: x + 2 = 0 ⇒ x₂ = -2
Kökler toplamı: x₁ + x₂ = 3 + (-2) = 1.
9) x² - 6x + m - 1 = 0 denkleminin bir kökü 2 olduğuna göre, diğer kökü kaçtır?
Çözüm: Denklemin bir kökü 2 olduğuna göre, x yerine 2 yazdığımızda denklem sağlanmalıdır:
2² - 6(2) + m - 1 = 0
4 - 12 + m - 1 = 0
-9 + m = 0
m = 9
Şimdi denklemi m=9 değeriyle tekrar yazalım:
x² - 6x + 9 - 1 = 0
x² - 6x + 8 = 0
Bu denklemi çarpanlarına ayıralım: (x - 2)(x - 4) = 0
Kökler x₁ = 2 ve x₂ = 4'tür. Dolayısıyla diğer kök 4'tür.
10) (a-2)x² + (a+1)x - 3 = 0 denklemi ikinci dereceden bir denklem olduğuna göre, a değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Çözüm: Bir denklemin ikinci dereceden bir denklem olabilmesi için x² teriminin katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır.
Yani (a-2) ≠ 0 olmalıdır.
a-2 = 0 olursa, a = 2 olur. Bu durumda x² terimi yok olur ve denklem ikinci dereceden olmaz.
Dolayısıyla a değeri 2 olamaz.
11) x² - 4x + 3 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Eşitsizliği çözmek için önce köklerini bulmalıyız.
x² - 4x + 3 = 0 denklemini çarpanlarına ayıralım:
(x - 1)(x - 3) = 0
Kökler x₁ = 1 ve x₂ = 3'tür.
Şimdi işaret tablosu oluşturalım. Baş katsayı (x²'nin katsayısı) pozitif olduğu için, en sağdan '+' ile başlarız ve her kökte işaret değiştiririz.
Arasın: (-∞, 1) | (1, 3) | (3, ∞)
İşaret: + | - | +
Eşitsizlik x² - 4x + 3 < 0 yani negatif olduğu aralığı soruyor. Bu aralık (1, 3)'tür.
12) |2x - 6| = x denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm: Mutlak değer içeren denklemleri çözerken iki durumu incelemeliyiz ve ayrıca mutlak değerin sonucu (sağ taraf) negatif olamayacağı için x ≥ 0 koşulunu kontrol etmeliyiz:
Durum 1: Mutlak değerin içi pozitif veya sıfır ise (2x - 6 ≥ 0)
2x - 6 = x ⇒ x = 6
Kontrol: x = 6 için 2x - 6 = 6 ≥ 0 ve x = 6 ≥ 0. Sağlar. x=6 bir çözümdür.
Durum 2: Mutlak değerin içi negatif ise (2x - 6 < 0)
-(2x - 6) = x ⇒ -2x + 6 = x ⇒ 6 = 3x ⇒ x = 2
Kontrol: x = 2 için 2x - 6 = -2 < 0 ve x = 2 ≥ 0. Sağlar. x=2 bir çözümdür.
Denklemi sağlayan x değerleri 6 ve 2'dir. Bu değerlerin toplamı: 6 + 2 = 8.
13) |x - 3| < 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: |x - 3| < 5 eşitsizliğini şu şekilde açabiliriz:
-5 < x - 3 < 5
Şimdi her iki tarafa 3 ekleyelim:
-5 + 3 < x - 3 + 3 < 5 + 3
-2 < x < 8
Çözüm kümesi (-2, 8) aralığıdır.
14) x + 1/y = 5 y + 1/x = 4 Denklem sistemini sağlayan (x,y) ikilisi için x/y oranı kaçtır?
Çözüm: Denklemleri düzenleyelim:
1) (xy + 1) / y = 5 ⇒ xy + 1 = 5y
2) (xy + 1) / x = 4 ⇒ xy + 1 = 4x
İki denklemin sol tarafı da (xy+1) olduğu için, sağ taraflarını birbirine eşitleyebiliriz:
5y = 4x
Bizden x/y oranı isteniyor. Her iki tarafı da y'ye bölelim:
5 = 4 * (x/y)
Şimdi her iki tarafı 4'e bölelim:
x/y = 5/4.
15) √(x + 3) = x - 3 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözüm: Denklemi çözmek için her iki tarafın karesini alalım:
(√(x + 3))² = (x - 3)²
x + 3 = x² - 6x + 9
0 = x² - 7x + 6
Bu ikinci derece denklemi çarpanlarına ayıralım:
(x - 1)(x - 6) = 0
Buradan kökler x₁ = 1 ve x₂ = 6 bulunur.
Ancak, köklü denklemlerde her zaman bulunan kökleri orijinal denklemde yerine koyarak kontrol etmek zorundayız (kökün içindeki ifade ≥ 0 ve köklü ifadenin sonucu ≥ 0 olmalı):
1) x = 1 için:
√(1 + 3) = 1 - 3
√4 = -2
2 = -2 (Yanlış) ⇒ x = 1 bir çözüm değildir.
2) x = 6 için:
√(6 + 3) = 6 - 3
√9 = 3
3 = 3 (Doğru) ⇒ x = 6 bir çözümdür.
Denklemi sağlayan tek x değeri 6'dır.
16) (x² - 9)(x + 1) / (x - 2) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Eşitsizliği çözmek için önce her bir çarpanın köklerini bulmalıyız:
x² - 9 = (x - 3)(x + 3)
Kökler:
x = 3, x = -3 (payı sıfır yapar)
x = -1 (payı sıfır yapar)
x = 2 (paydayı sıfır yapar, çözüm kümesine dahil edilemez)
Kökleri sayı doğrusunda küçükten büyüğe sıralayalım: -3, -1, 2, 3.
İşaret tablosu oluşturalım. Tüm x'li terimlerin baş katsayıları pozitif olduğundan, en sağ aralıkta çarpımın işareti pozitif olacaktır. Her kökte (tek katlı) işaret değiştiririz.
Aralıklar: (-∞, -3) | (-3, -1) | (-1, 2) | (2, 3) | (3, ∞)
İşaret: + | - | + | - | +
Eşitsizlik ≥ 0 olduğu için pozitif veya sıfır olan aralıkları almalıyız.
x = -3, x = -1, x = 3 değerleri payı sıfır yaptığı için çözüme dahildir (köşeli parantez).
x = 2 paydadan geldiği için çözüm kümesine dahil değildir (açık parantez).
Çözüm kümesi: [-3, -1] ∪ (2, 3].
17) x - y ≤ 2 x + y > 4 Yukarıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi bir koordinat düzleminde boyanarak gösterildiğinde, aşağıdaki bölgelerden hangisi bu çözüm kümesinin bir parçasıdır?
Çözüm: Verilen noktaları eşitsizlik sisteminde yerine koyarak doğru olanı bulalım:
1) x - y ≤ 2
2) x + y > 4
E) (4, 2):
4 - 2 ≤ 2 ⇒ 2 ≤ 2 (Doğru)
4 + 2 > 4 ⇒ 6 > 4 (Doğru)
Her iki eşitsizliği de sağladığı için (4, 2) noktası çözüm kümesinin bir parçasıdır.
18) 3^(2x-1) = 27^(x+1) denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözüm: Denklemi çözmek için tabanları eşitleyelim. 27, 3'ün küpüdür (27 = 3³).
3^(2x-1) = (3³)^(x+1)
3^(2x-1) = 3^(3(x+1))
3^(2x-1) = 3^(3x+3)
Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de eşit olmalıdır:
2x - 1 = 3x + 3
-1 - 3 = 3x - 2x
-4 = x
Denklemi sağlayan x değeri -4'tür.
19) Bir f(x) = ax² + bx + c parabolünün grafiği x eksenini x₁ ve x₂ noktalarında kesmektedir. x₁ + x₂ = 5 ve x₁ * x₂ = 4 olduğuna göre, a, b ve c katsayıları arasındaki ilişkiyi ifade eden aşağıdaki denklemlerden hangisi doğrudur?
Çözüm: İkinci derece denklemlerde kökler toplamı x₁ + x₂ = -b/a ve kökler çarpımı x₁ * x₂ = c/a formülleriyle verilir.
Bize verilen bilgilere göre:
x₁ + x₂ = 5 ⇒ -b/a = 5 ⇒ -b = 5a ⇒ b + 5a = 0.
x₁ * x₂ = 4 ⇒ c/a = 4 ⇒ c = 4a ⇒ c - 4a = 0.
Şıklara baktığımızda b + 5a = 0 ilişkisi mevcuttur.
20) Hızı sabit olan bir araç, A şehrinden B şehrine 3 saatte gitmektedir. Eğer araç hızını saatte 20 km azaltırsa, aynı yolu 4 saatte gidecektir. Buna göre, aracın başlangıçtaki hızı kaç km/sa'tir?
Çözüm: Yol = Hız * Zaman formülünü kullanacağız. A ve B şehirleri arasındaki mesafe (Yol) sabittir.
Başlangıçtaki hıza 'V' diyelim.
Durum 1: Hız = V, Zaman = 3 saat.
Yol = V * 3 = 3V
Durum 2: Hız = V - 20, Zaman = 4 saat.
Yol = (V - 20) * 4 = 4V - 80
İki durumda da yol aynı olduğu için denklemleri eşitleyebiliriz:
3V = 4V - 80
80 = 4V - 3V
80 = V
Aracın başlangıçtaki hızı 80 km/sa'tir.
Skor: 0/0 (0%)
Denklemler ve Eşitsizlikler
Denklemler ve Eşitsizlikler konusunda kapsamlı bir anlatım aşağıdadır.