8. sınıf matematik 8. sınıf matematik Çarpanlar ve Katlar testi ve çözümleri – İnteraktif Test
1) 30 sayısının doğal sayı çarpanlarından kaç tanesi çift sayıdır?
Çözüm: 30 sayısının doğal sayı çarpanları: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30'dur. Bu çarpanlardan çift olanlar: 2, 6, 10, 30'dur. Toplam 4 tanedir.
2) 12 sayısının 100'den küçük doğal sayı katlarından en büyüğü kaçtır?
Çözüm: 12'nin katlarını bulalım: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108... 100'den küçük en büyük kat 96'dır.
3) Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayıdır?
Çözüm: Bir asal sayı, 1'den ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1'den büyük doğal sayıdır.
A) 21 = 3 x 7 (asal değil)
B) 39 = 3 x 13 (asal değil)
C) 51 = 3 x 17 (asal değil)
D) 73 (sadece 1 ve 73'e bölünür, asal)
E) 91 = 7 x 13 (asal değil)
4) 72 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: 72'yi asal çarpanlarına ayıralım:
72 ÷ 2 = 36
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1
Yani 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = $2^3 cdot 3^2$.
5) Hem 18 hem de 24 sayısının ortak doğal sayı bölenlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm: 18'in doğal sayı bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
24'ün doğal sayı bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6.
Bu ortak bölenlerin toplamı: 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
6) Boyutları 48 cm ve 60 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına ve köşelerine de gelmek şartıyla, eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. En az sayıda ağaç dikilebilmesi için iki ağaç arası mesafe en fazla kaç cm olmalıdır?
Çözüm: En az sayıda ağaç dikmek için ağaçlar arasındaki mesafenin en büyük olması gerekir. Bu mesafe hem 48'in hem de 60'ın ortak böleni olmalı ve en büyük olmalıdır. Yani EBOB(48, 60) hesaplamalıyız.
48 = $2^4 cdot 3$
60 = $2^2 cdot 3 cdot 5$
EBOB(48, 60) = $2^2 cdot 3 = 4 cdot 3 = 12$.
Ağaçlar arası mesafe en fazla 12 cm olmalıdır.
7) Bir duraktan A otobüsü her 15 dakikada bir, B otobüsü ise her 20 dakikada bir hareket etmektedir. İki otobüs ilk kez saat 08:00'de birlikte hareket ettiklerine göre, ikinci kez saat kaçta birlikte hareket ederler?
Çözüm: İki otobüsün tekrar birlikte hareket etme süresi, hareket sürelerinin en küçük ortak katı (EKOK) olacaktır.
EKOK(15, 20) = ?
15 = 3 x 5
20 = $2^2 cdot 5$
EKOK(15, 20) = $2^2 cdot 3 cdot 5 = 4 cdot 3 cdot 5 = 60$.
Yani otobüsler her 60 dakikada (1 saatte) bir birlikte hareket ederler.
İlk kez 08:00'de hareket ettiklerine göre, ikinci kez 08:00 + 1 saat = 09:00'da birlikte hareket ederler.
8) Aralarında asal iki doğal sayının çarpımı 120'dir. Bu sayıların EKOK'u kaçtır?
Çözüm: Aralarında asal iki doğal sayının EBOB'u 1'dir. İki sayının çarpımı, EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
Sayılar A ve B olsun. A x B = EBOB(A, B) x EKOK(A, B).
A x B = 120 verilmiş.
A ve B aralarında asal olduğundan EBOB(A, B) = 1'dir.
120 = 1 x EKOK(A, B).
Dolayısıyla EKOK(A, B) = 120'dir.
9) Kenar uzunlukları 140 cm ve 160 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kumaş, hiç artmayacak şekilde ve eşit büyüklükteki kare parçalara ayrılacaktır. Bu parçalardan birinin bir kenar uzunluğu en fazla kaç cm olabilir?
Çözüm: Kumaşın hiç artmayacak şekilde eşit büyüklükte kare parçalara ayrılması demek, kare parçanın kenar uzunluğunun hem 140'ın hem de 160'ın ortak böleni olması ve 'eşit büyüklükteki kareler' için bu bölenin en büyük olması demektir. Yani EBOB(140, 160) hesaplamalıyız.
140 = $2^2 cdot 5 cdot 7$
160 = $2^5 cdot 5$
EBOB(140, 160) = $2^2 cdot 5 = 4 cdot 5 = 20$.
Bir kenar uzunluğu en fazla 20 cm olabilir.
10) Bir okulun matematik kulübünde 36 kız ve 48 erkek öğrenci vardır. Kulüpteki öğrenciler, her grupta eşit sayıda ve sadece kız ya da sadece erkek öğrencilerin bulunduğu, mümkün olan en az sayıda gruba ayrılacaktır. Her gruptaki öğrenci sayısı kaçtır?
Çözüm: Her grupta eşit sayıda öğrenci olması ve mümkün olan en az sayıda grup olması için her gruptaki öğrenci sayısının en büyük olması gerekir. Bu sayı hem 36'nın hem de 48'in ortak böleni olmalı ve en büyük olmalıdır. Yani EBOB(36, 48) hesaplamalıyız.
36 = $2^2 cdot 3^2$
48 = $2^4 cdot 3$
EBOB(36, 48) = $2^2 cdot 3 = 4 cdot 3 = 12$.
Her gruptaki öğrenci sayısı 12'dir.
11) A ve B doğal sayılarının asal çarpanlara ayrılmış hali $A = 2^a cdot 3^3 cdot 5^1$ ve $B = 2^4 cdot 3^b cdot 5^c$ şeklindedir. EBOB(A, B) = $2^3 cdot 3^2 cdot 5^1$ ve EKOK(A, B) = $2^4 cdot 3^3 cdot 5^2$ olduğuna göre a+b+c toplamı kaçtır?
Çözüm: EBOB alırken ortak asal çarpanların üslerinden küçüğü, EKOK alırken ortak asal çarpanların üslerinden büyüğü ve ortak olmayanların tamamı alınır.
A = $2^a cdot 3^3 cdot 5^1$
B = $2^4 cdot 3^b cdot 5^c$
EBOB(A, B) = $2^{min(a,4)} cdot 3^{min(3,b)} cdot 5^{min(1,c)} = 2^3 cdot 3^2 cdot 5^1$
EKOK(A, B) = $2^{max(a,4)} cdot 3^{max(3,b)} cdot 5^{max(1,c)} = 2^4 cdot 3^3 cdot 5^2$
2'nin üssü için: $min(a,4) = 3$ ve $max(a,4) = 4$. Bu durumda a = 3 olmalıdır.
3'ün üssü için: $min(3,b) = 2$ ve $max(3,b) = 3$. Bu durumda b = 2 olmalıdır.
5'in üssü için: $min(1,c) = 1$ ve $max(1,c) = 2$. Bu durumda c = 2 olmalıdır.
a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7.
12) İki farklı doğal sayının EBOB'u 8, EKOK'u 120'dir. Bu sayıların toplamı en az kaçtır?
Çözüm: İki doğal sayı A ve B olsun.
EBOB(A, B) = 8
EKOK(A, B) = 120
A = 8x, B = 8y diyelim, burada x ve y aralarında asal olmalıdır.
İki sayının çarpımı, EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir: A x B = EBOB(A, B) x EKOK(A, B).
(8x) x (8y) = 8 x 120
64xy = 960
xy = 960 / 64 = 15.
x ve y aralarında asal ve çarpımları 15 olan ikililer:
(1, 15) -> A = 8*1 = 8, B = 8*15 = 120. Toplam: 8 + 120 = 128.
(3, 5) -> A = 8*3 = 24, B = 8*5 = 40. Toplam: 24 + 40 = 64.
Soruda 'iki farklı doğal sayı' ve 'toplamı en az kaçtır' deniliyor. En az toplam 64'tür.
13) Bir sayı 5'e bölündüğünde 3, 6'ya bölündüğünde 4 ve 8'e bölündüğünde 6 kalanını vermektedir. Bu şartları sağlayan en küçük doğal sayı kaçtır?
Çözüm: Sayı N olsun.
N ≡ 3 (mod 5)
N ≡ 4 (mod 6)
N ≡ 6 (mod 8)
Kalanlar ile bölenler arasındaki farklara bakalım:
5 - 3 = 2
6 - 4 = 2
8 - 6 = 2
Fark sabit (2) olduğu için, bu sayı N+2, 5'in, 6'nın ve 8'in ortak katı olmalıdır.
Yani N+2 = EKOK(5, 6, 8)
EKOK(5, 6, 8) = ?
5 = 5
6 = 2 x 3
8 = $2^3$
EKOK(5, 6, 8) = $2^3 cdot 3 cdot 5 = 8 cdot 3 cdot 5 = 120$.
N + 2 = 120
N = 120 - 2 = 118.
14) Bir A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali $A = 2^x cdot 3^2 cdot 5^1$ şeklindedir. A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı 24 olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm: Bir sayının pozitif tam bölenlerinin sayısı, asal çarpanlarına ayrılmış halindeki üslerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.
A = $2^x cdot 3^2 cdot 5^1$
Pozitif tam bölen sayısı = (x+1) * (2+1) * (1+1)
24 = (x+1) * 3 * 2
24 = (x+1) * 6
x+1 = 24 / 6
x+1 = 4
x = 3.
15) $x$ bir doğal sayı olmak üzere, EBOB(x, 18) = 6 ve EKOK(x, 18) = 72 olduğuna göre, x kaçtır?
Çözüm: İki sayının çarpımı, EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
x * 18 = EBOB(x, 18) * EKOK(x, 18)
x * 18 = 6 * 72
x * 18 = 432
x = 432 / 18
x = 24.
Kontrol: EBOB(24, 18) = 6 ve EKOK(24, 18) = 72.
16) 180 sayısının pozitif tek tam bölenlerinin sayısı kaçtır?
Çözüm: Önce 180'i asal çarpanlarına ayıralım:
180 = $18 cdot 10 = (2 cdot 3^2) cdot (2 cdot 5) = 2^2 cdot 3^2 cdot 5^1$.
Tek tam bölenlerini bulmak için 2'nin çarpanını göz ardı etmeliyiz, çünkü tek bir sayı 2'nin çarpanını içermez.
Tek bölenler, $3^2 cdot 5^1$ sayısının bölenleri olacaktır.
Tek bölen sayısı = (3'ün üssü + 1) * (5'in üssü + 1)
Tek bölen sayısı = (2+1) * (1+1) = 3 * 2 = 6.
17) İki doğal sayının oranı 3/4'tür. Bu sayıların EBOB'u 5 olduğuna göre, EKOK'u kaçtır?
Çözüm: Sayılar A ve B olsun.
A/B = 3/4. Bu durumda A = 3k ve B = 4k diyebiliriz.
EBOB(A, B) = EBOB(3k, 4k) = k. (Çünkü 3 ve 4 aralarında asaldır)
Soruda EBOB'un 5 olduğu verilmiş. Demek ki k = 5.
Sayılar: A = 3k = 3 * 5 = 15 ve B = 4k = 4 * 5 = 20.
Şimdi EKOK(15, 20)'yi bulmalıyız.
15 = 3 * 5
20 = $2^2 cdot 5$
EKOK(15, 20) = $2^2 cdot 3 cdot 5 = 4 cdot 3 cdot 5 = 60$.
18) $30!$ sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Çözüm: Bir sayının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için, o sayının asal çarpanlarına ayrılmış halindeki 5'in üssünü buluruz. (Çünkü 10 = 2 * 5 ve çarpan olarak 2, 5'ten daha fazladır, dolayısıyla 5'in adedi belirleyici olur.)
30'u sürekli 5'e böleriz ve bölümleri toplarız.
30 / 5 = 6
6 / 5 = 1 (kalan önemli değil)
Toplam üs = 6 + 1 = 7.
Yani $30!$ sayısının sondan 7 basamağı sıfırdır.
19) $A = 2^3 cdot 3^2 cdot 5^1$ ve $B = 2^x cdot 3^y cdot 5^z$ sayılarının EBOB'u 30, EKOK'u 1800'dür. x, y, z pozitif tam sayılar olduğuna göre, x+y+z toplamı en az kaçtır?
Çözüm: Verilen sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
$A = 2^3 cdot 3^2 cdot 5^1$
EBOB(A, B) = $30 = 2^1 cdot 3^1 cdot 5^1$
EKOK(A, B) = $1800 = 18 cdot 100 = (2 cdot 3^2) cdot (10^2) = (2 cdot 3^2) cdot (2 cdot 5)^2 = 2 cdot 3^2 cdot 2^2 cdot 5^2 = 2^3 cdot 3^2 cdot 5^2$
Şimdi üsleri karşılaştıralım ($A = 2^3 cdot 3^2 cdot 5^1$ ve $B = 2^x cdot 3^y cdot 5^z$):
**2'nin üssü için:**
EBOB'dan: $min(3, x) = 1$
EKOK'tan: $max(3, x) = 3$
Bu iki koşulu sağlayan tek değer x = 1'dir.
**3'ün üssü için:**
EBOB'dan: $min(2, y) = 1$
EKOK'tan: $max(2, y) = 2$
Bu iki koşulu sağlayan tek değer y = 1'dir.
**5'in üssü için:**
EBOB'dan: $min(1, z) = 1$
EKOK'tan: $max(1, z) = 2$
Bu iki koşulu sağlayan tek değer z = 2'dir.
x, y, z pozitif tam sayılar olduğuna göre, bulduğumuz değerler (x=1, y=1, z=2) geçerlidir.
x + y + z = 1 + 1 + 2 = 4.
20) x ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. EBOB(x, y) + EKOK(x, y) = 145 olduğuna göre, x+y toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm: x ve y aralarında asal iki doğal sayı olduğundan, EBOB(x, y) = 1'dir.
Ayrıca, aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir. Yani EKOK(x, y) = x * y'dir.
Verilen denklemi bu bilgilerle yeniden yazalım:
EBOB(x, y) + EKOK(x, y) = 145
1 + (x * y) = 145
x * y = 144.
Şimdi çarpımları 144 olan ve aynı zamanda aralarında asal olan (yani 1'den başka ortak böleni olmayan) sayı çiftlerini bulmamız gerekiyor. Ayrıca x+y toplamının en küçük olmasını istiyoruz. Toplamın en küçük olması için çarpanların birbirine en yakın olması gerekir.
144'ün çarpanları ve aralarında asal olma durumları:
- (1, 144): EBOB(1, 144) = 1 (aralarında asal). Toplam = 1 + 144 = 145.
- (9, 16): EBOB(9, 16) = EBOB($3^2$, $2^4$) = 1 (aralarında asal). Toplam = 9 + 16 = 25.
Bulduğumuz aralarında asal çiftlerin toplamlarını karşılaştıralım: 145 ve 25.
Bu iki toplamdan en küçüğü 25'tir.
Dolayısıyla x+y toplamının alabileceği en küçük değer 25'tir.
Skor: 0/0 (0%)
Çarpanlar ve Katlar
Çarpanlar ve Katlar konusunda kapsamlı bir anlatım aşağıdadır.