11. sınıf matematik 11. sınıf matematik Dizi ve Seriler testi ve çözümleri – İnteraktif Test
1) Aşağıdaki sayı örüntüsünde '?' yerine gelmesi gereken sayı kaçtır? 3, 7, 11, 15, ?
Çözüm: Örüntüye bakıldığında her terimin bir önceki terimden 4 fazla olduğu görülmektedir (7-3=4, 11-7=4, 15-11=4). Bu bir aritmetik örüntüdür. Dolayısıyla 15'ten sonraki terim 15 + 4 = 19 olmalıdır. (5-6. Sınıf Düzeyi - Kolay)
2) Bir top 200 cm yükseklikten yere bırakılıyor. Her seferinde bir önceki yüksekliğin yarısı kadar zıplıyor. Top 3. kez yere çarptığında yerden kaç cm yükselir?
Çözüm: Topun ilk yüksekliği = 200 cm
1. zıplayış (1. kez yere çarptıktan sonra): 200 * (1/2) = 100 cm
2. zıplayış (2. kez yere çarptıktan sonra): 100 * (1/2) = 50 cm
3. zıplayış (3. kez yere çarptıktan sonra): 50 * (1/2) = 25 cm
Bu bir geometrik örüntünün günlük hayattan bir uygulamasıdır. (7-8. Sınıf Düzeyi - Orta)
3) Genel kuralı 2n + 5 olan bir sayı örüntüsünün 7. terimi kaçtır?
Çözüm: Örüntünün genel kuralı (genel terimi) 2n + 5 olarak verilmiştir. n yerine terim numarasını yazarak ilgili terimi bulabiliriz. 7. terimi bulmak için n = 7 yazılır.
7. terim = 2 * 7 + 5 = 14 + 5 = 19. (7-8. Sınıf Düzeyi - Orta)
4) Aşağıdakilerden hangisi bir dizi belirtir?
Çözüm: Bir ifadenin dizi belirtmesi için tanım kümesinin pozitif tam sayılar (N+) olması ve bu sayılar için her zaman tanımlı olması gerekir.
A) a_n = 1/(n-1): n=1 için payda sıfır olur, tanımsızdır.
B) a_n = log(n-2): n=1 ve n=2 için logaritmanın içi sıfır veya negatif olur, tanımsızdır.
C) a_n = (n^2 + 1)/(n+2): n=1, 2, 3, ... için payda (n+2) asla sıfır olmaz ve ifade her zaman tanımlıdır. Bu bir dizi belirtir.
D) a_n = √(-n): n=1, 2, 3, ... için kök içi negatif olur, tanımsızdır (gerçel sayılar dizisi olarak).
E) a_n = arccos(n): n=1 için tanımlı olsa da, n=2 için arccos(2) tanımsızdır (arccos fonksiyonunun tanım aralığı [-1, 1]'dir).
(9. Sınıf Düzeyi - Orta - Dizi Tanımı)
5) Genel terimi a_n = n^2 - 3n olan dizinin ilk 3 teriminin toplamı kaçtır?
Çözüm: İlk 3 terimi bulalım:
1. terim (n=1): a_1 = 1^2 - 3*1 = 1 - 3 = -2
2. terim (n=2): a_2 = 2^2 - 3*2 = 4 - 6 = -2
3. terim (n=3): a_3 = 3^2 - 3*3 = 9 - 9 = 0
İlk 3 teriminin toplamı = a_1 + a_2 + a_3 = (-2) + (-2) + 0 = -4. (9-10. Sınıf Düzeyi - Orta)
6) Bir aritmetik dizinin ilk terimi (a_1) 5 ve ortak farkı (d) 3'tür. Bu dizinin 10. terimi (a_10) kaçtır?
Çözüm: Aritmetik dizinin genel terim formülü a_n = a_1 + (n-1)d şeklindedir.
Verilenler: a_1 = 5, d = 3, n = 10
10. terim (a_10) = 5 + (10-1)*3
a_10 = 5 + 9*3
a_10 = 5 + 27
a_10 = 32. (10. Sınıf Düzeyi - Orta)
7) İlk terimi (a_1) 2 ve ortak oranı (r) 3 olan bir geometrik dizinin 4. terimi (a_4) kaçtır?
Çözüm: Geometrik dizinin genel terim formülü a_n = a_1 * r^(n-1) şeklindedir.
Verilenler: a_1 = 2, r = 3, n = 4
4. terim (a_4) = 2 * 3^(4-1)
a_4 = 2 * 3^3
a_4 = 2 * 27
a_4 = 54. (10. Sınıf Düzeyi - Orta)
8) Bir aritmetik dizide a_3 = 10 ve a_7 = 26 olduğuna göre, bu dizinin ortak farkı (d) kaçtır?
Çözüm: Aritmetik dizide a_n = a_k + (n-k)d formülünü kullanabiliriz.
a_7 = a_3 + (7-3)d
26 = 10 + 4d
16 = 4d
d = 4. (10. Sınıf Düzeyi - Orta)
9) İlk terimi 1 olan bir dizide a_n = 2 * a_{n-1} + 1 (n > 1) bağıntısı veriliyor. Bu dizinin 3. terimi (a_3) kaçtır?
Çözüm: Verilenler: a_1 = 1 ve a_n = 2 * a_{n-1} + 1
2. terimi bulalım (n=2):
a_2 = 2 * a_1 + 1 = 2 * 1 + 1 = 3
3. terimi bulalım (n=3):
a_3 = 2 * a_2 + 1 = 2 * 3 + 1 = 6 + 1 = 7. (11-12. Sınıf Düzeyi - Orta - İndirgemeli Dizi)
10) Σ_{k=1}^4 (3k - 2) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: Toplam sembolü (sigma) k=1'den k=4'e kadar (3k-2) ifadesini hesaplayıp toplamamızı ister.
k=1 için: 3*1 - 2 = 1
k=2 için: 3*2 - 2 = 4
k=3 için: 3*3 - 2 = 7
k=4 için: 3*4 - 2 = 10
Toplam = 1 + 4 + 7 + 10 = 22. (11-12. Sınıf Düzeyi - Orta - Toplam Sembolü)
11) Bir aritmetik dizinin ilk 6 teriminin toplamı 63'tür. Bu dizinin ilk terimi 3 olduğuna göre, ortak farkı (d) kaçtır?
Çözüm: Aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d) formülüyle bulunur.
Verilenler: S_6 = 63, n = 6, a_1 = 3
63 = 6/2 * (2*3 + (6-1)d)
63 = 3 * (6 + 5d)
21 = 6 + 5d
15 = 5d
d = 3. (11-12. Sınıf Düzeyi - Orta - Aritmetik Dizi Toplamı)
12) Bir geometrik dizinin ilk terimi 4 ve ortak oranı 1/2'dir. Bu dizinin 5. terimi kaçtır?
Çözüm: Geometrik dizinin genel terim formülü a_n = a_1 * r^(n-1) şeklindedir.
Verilenler: a_1 = 4, r = 1/2, n = 5
a_5 = 4 * (1/2)^(5-1)
a_5 = 4 * (1/2)^4
a_5 = 4 * (1/16)
a_5 = 4/16 = 1/4. (11-12. Sınıf Düzeyi - Orta)
13) lim_{n→∞} (2n^2 - 3n + 1) / (5n^2 + n - 4) dizisinin limiti kaçtır?
Çözüm: Bir dizinin limiti bulunurken n sonsuza giderken, pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimlerin katsayıları oranına bakılır. Eğer payın derecesi paydanın derecesine eşitse, limit bu katsayıların oranıdır.
Bu dizide payın en yüksek dereceli terimi 2n^2, paydanın en yüksek dereceli terimi 5n^2'dir.
Limit = 2/5. (11-12. Sınıf Düzeyi - Zor - Dizilerde Limit - YKS Odaklı)
14) Ortak oranı r = 1/3 olan bir sonsuz geometrik serinin toplamı 12 olduğuna göre, bu serinin ilk terimi (a_1) kaçtır?
Çözüm: Sonsuz geometrik serinin toplam formülü S = a_1 / (1-r)'dir. Bu formül |r| < 1 olduğunda geçerlidir.
Verilenler: S = 12, r = 1/3
12 = a_1 / (1 - 1/3)
12 = a_1 / (2/3)
a_1 = 12 * (2/3)
a_1 = 24/3
a_1 = 8. (11-12. Sınıf Düzeyi - Zor - Sonsuz Geometrik Seri - YKS Odaklı)
15) Bir banka, her ay sonunda müşterinin hesabındaki paranın %5'i kadar faiz işletmektedir. Başlangıçta hesabında 1000 TL olan bir kişinin 3 ay sonunda hesabında yaklaşık kaç TL olur? (Faiz, ana paraya eklenerek hesaplanır ve yuvarlama yapılmaz.)
Çözüm: Bu bir geometrik dizi problemidir.
Başlangıç (a_0) = 1000 TL
Her ay %5 faiz eklendiğinde para 1 + 0.05 = 1.05 katına çıkar.
1. ay sonunda (a_1): 1000 * 1.05 = 1050 TL
2. ay sonunda (a_2): 1050 * 1.05 = 1102.5 TL
3. ay sonunda (a_3): 1102.5 * 1.05 = 1157.625 TL. Yuvarlarsak 1157.63 TL. (11-12. Sınıf Düzeyi - Zor - Günlük Hayat Uygulaması - YKS Tarzı)
16) Bir aritmetik dizide a_5 = 18 ve a_11 = 42 ise, a_1 terimi kaçtır?
Çözüm: Aritmetik dizide a_n = a_k + (n-k)d formülünü kullanabiliriz.
a_11 = a_5 + (11-5)d
42 = 18 + 6d
24 = 6d
d = 4
Şimdi a_1 terimini bulmak için a_5 = a_1 + (5-1)d formülünü kullanalım:
18 = a_1 + 4*4
18 = a_1 + 16
a_1 = 18 - 16
a_1 = 2. (11-12. Sınıf Düzeyi - Zor - YKS Odaklı)
17) Bir geometrik dizinin 2. terimi 12, 4. terimi 108 ise, ortak oranı (r) kaçtır?
Çözüm: Geometrik dizide a_n = a_k * r^(n-k) formülünü kullanabiliriz.
a_4 = a_2 * r^(4-2)
108 = 12 * r^2
108/12 = r^2
9 = r^2
r = 3 (Ortak oran genellikle pozitif kabul edilir, seçeneklerde pozitif değer olduğu için 3 alırız). (11-12. Sınıf Düzeyi - Zor - YKS Odaklı)
18) Bir dizinin genel terimi a_n = (-1)^n * (n+1) olarak verilmiştir. Bu dizinin ilk 4 teriminin toplamı kaçtır?
Çözüm: İlk 4 terimi hesaplayalım:
1. terim (n=1): a_1 = (-1)^1 * (1+1) = -1 * 2 = -2
2. terim (n=2): a_2 = (-1)^2 * (2+1) = 1 * 3 = 3
3. terim (n=3): a_3 = (-1)^3 * (3+1) = -1 * 4 = -4
4. terim (n=4): a_4 = (-1)^4 * (4+1) = 1 * 5 = 5
İlk 4 teriminin toplamı = (-2) + 3 + (-4) + 5 = 2. (9-10. Sınıf Düzeyi - Orta)
19) Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğru değildir?
Çözüm: A) Her aritmetik dizi bir dizidir: Doğru. Aritmetik dizi, özel bir dizi türüdür.
B) Her geometrik dizi bir dizidir: Doğru. Geometrik dizi de özel bir dizi türüdür.
C) Ortak farkı sıfır olan bir aritmetik dizi (sabit dizi, örneğin 5, 5, 5, ...) aynı zamanda ortak oranı 1 olan bir geometrik dizidir: Doğru.
D) Sonsuz terimli bir dizinin her zaman limiti vardır: Yanlış. Örneğin a_n = (-1)^n dizisinin (yani -1, 1, -1, 1, ...) limiti yoktur. Limit olması için terimlerin tek bir değere yakınsaması gerekir.
E) Bir dizinin terimleri her zaman gerçel sayı olmak zorunda değildir: Doğru. Karmaşık sayılar dizileri de tanımlanabilir. (11-12. Sınıf Düzeyi - Zor - Kavramsal Anlama - YKS Tarzı)
20) Bir okulda her yıl bir önceki yıla göre %10 daha fazla öğrenci kayıt yaptırmaktadır. Eğer ilk yıl 500 öğrenci kayıt yaptırdıysa, ilk 3 yıl boyunca okula toplam kaç öğrenci kayıt yaptırmış olur?
Çözüm: Bu bir geometrik seri toplamı problemidir.
İlk yıl kayıt olan öğrenci sayısı (a_1) = 500
Her yıl %10 artış demek, ortak oran r = 1 + 0.10 = 1.1'dir.
1. yıl kayıt olan öğrenci sayısı (a_1) = 500
2. yıl kayıt olan öğrenci sayısı (a_2) = a_1 * r = 500 * 1.1 = 550
3. yıl kayıt olan öğrenci sayısı (a_3) = a_2 * r = 550 * 1.1 = 605
İlk 3 yıl boyunca okula toplam kayıt yaptıran öğrenci sayısı = a_1 + a_2 + a_3 = 500 + 550 + 605 = 1655. (11-12. Sınıf Düzeyi - Zor - Günlük Hayat Uygulaması - YKS Tarzı)
Skor: 0/0 (0%)
Dizi ve Seriler
Dizi ve Seriler konusunda kapsamlı bir anlatım aşağıdadır.