10. sınıf matematik 10. sınıf matematik Trigonometri testi ve çözümleri – İnteraktif Test
1) Bir açının başlangıç kenarı ile bitim kenarı arasındaki dönüş yönü saat yönünün tersi ise bu açıya ne ad verilir?
Çözüm: Açıların yönleri, saat yönüne ve saat yönünün tersine göre belirlenir. Saat yönünün tersi pozitif yön, saat yönü ise negatif yöndür. Bu nedenle, saat yönünün tersi pozitif yönlü açıdır.
2) Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
Çözüm: Geniş açı, ölçüsü 90 dereceden büyük ve 180 dereceden küçük olan açıdır. Dolayısıyla 'Geniş açı 90 dereceden küçüktür' ifadesi yanlıştır. Dar açı 90 dereceden küçüktür.
3) Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları 6 cm ve 8 cm ise, hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm: Bir dik üçgende Pisagor Teoremi'ne göre, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir. a² + b² = c² formülünü kullanarak, 6² + 8² = c² => 36 + 64 = c² => 100 = c² => c = 10 cm bulunur.
4) Bir ağacın gölgesi, ağacın boyunun 3 katı uzunluğundadır. Buna göre güneş ışınlarının yerle yaptığı açının tanjantı kaçtır?
Çözüm: Ağacın boyuna 'h' dersek, gölgesinin uzunluğu '3h' olur. Güneş ışınlarının yerle yaptığı açının tanjantı, karşı dik kenar (ağacın boyu) / komşu dik kenar (gölgenin uzunluğu) oranıdır. tan(açı) = h / (3h) = 1/3.
5) Ölçüsü 210° olan bir açının esas ölçüsü kaç radyandır?
Çözüm: Dereceyi radyana çevirmek için (derece / 180) * π formülü kullanılır. Esas ölçü için 0° ile 360° arasında olması gerekir, 210° zaten bu aralıktadır. (210 / 180) * π = (7/6) * π = 7π/6 radyandır.
6) Dik üçgende bir dar açının sinüs değeri, karşı dik kenar uzunluğunun hangi kenar uzunluğuna oranıdır?
Çözüm: Bir dik üçgende bir dar açının sinüs değeri, o açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır (Sinüs = Karşı / Hipotenüs).
7) cos(60°) + sin(30°) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: cos(60°) = 1/2 ve sin(30°) = 1/2'dir. Bu değerleri toplarsak: 1/2 + 1/2 = 1 elde edilir.
8) Bir açının bitim kenarı koordinat düzleminde (-3, 4) noktasından geçiyorsa, bu açının kosinüs değeri kaçtır?
Çözüm: Koordinat düzleminde (x, y) noktasından geçen bir açının kosinüs değeri x/r'dir, burada r orijine olan uzaklıktır (r = √(x² + y²)). r = √((-3)² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5'tir. Bu durumda kosinüs değeri x/r = -3/5 olur.
9) sin(x) = 3/5 ve x bir dar açı ise, tan(x) değeri kaçtır?
Çözüm: Bir dik üçgen çizersek, karşı dik kenar 3, hipotenüs 5 olur. Pisagor Teoremi'nden komşu dik kenar uzunluğu √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4 bulunur. tan(x) = Karşı / Komşu olduğu için tan(x) = 3/4'tür.
10) sin(150°) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Çözüm: 150° ikinci bölgededir. sin(150°) = sin(180° - 30°) = sin(30°)'dir. İkinci bölgede sinüs pozitif olduğu için sin(150°) = 1/2'dir.
11) arcsin(1/2) + arccos(√3/2) işleminin sonucu kaç radyandır?
Çözüm: arcsin(1/2) demek, sinüsü 1/2 olan açı demektir. Bu açı π/6 (veya 30°) dir. arccos(√3/2) demek, kosinüsü √3/2 olan açı demektir. Bu açı da π/6 (veya 30°) dir. Toplamları π/6 + π/6 = 2π/6 = π/3 radyandır.
12) tan(75°) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: tan(75°) = tan(45° + 30°) formülü ile çözülür. tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB). tan(45°) = 1 ve tan(30°) = 1/√3 = √3/3'tür. Bu değerleri yerine koyarsak: (1 + √3/3) / (1 - 1 * √3/3) = ((3+√3)/3) / ((3-√3)/3) = (3+√3) / (3-√3). Paydayı eşleniği ile çarparsak: ((3+√3)(3+√3)) / ((3-√3)(3+√3)) = (9 + 6√3 + 3) / (9 - 3) = (12 + 6√3) / 6 = 2 + √3 elde edilir.
13) cos(2x) = 1/2 denkleminin [0, 2π) aralığındaki en küçük pozitif kökü kaç radyandır?
Çözüm: cos(2x) = 1/2 ise, 2x = π/3 + 2kπ veya 2x = -π/3 + 2kπ olur. k=0 için 2x = π/3 => x = π/6. k=1 için 2x = 5π/3 => x = 5π/6. Diğer kökler bu aralıkta daha büyük olacaktır. En küçük pozitif kök π/6'dır.
14) Bir ABC üçgeninde a=8 cm, b=6 cm ve C açısı 60° ise, c kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm: Kosinüs Teoremi'ne göre: c² = a² + b² - 2ab*cos(C). Verilen değerleri yerine yazalım: c² = 8² + 6² - 2 * 8 * 6 * cos(60°). c² = 64 + 36 - 2 * 48 * (1/2). c² = 100 - 48 = 52. c = √52 = √(4 * 13) = 2√13 cm.
15) sin(x) = cos(20°) eşitliğini sağlayan en küçük pozitif x açısı kaç derecedir?
Çözüm: Tümler açılar için sin(x) = cos(90°-x) veya cos(x) = sin(90°-x) ilişkisi vardır. Dolayısıyla cos(20°) = sin(90°-20°) = sin(70°)'dir. Bu durumda sin(x) = sin(70°) olduğundan en küçük pozitif x açısı 70°'dir.
16) Bir gözlemci yerden 10 metre yükseklikteki bir binanın çatısından, kendisinden 20 metre uzakta bulunan bir ağacın tepesini 45°'lik açı ile görüyor. Ağacın yüksekliği kaç metredir? (Gözlemcinin göz seviyesi yerden 10 metredir.)
Çözüm: Gözlemcinin göz seviyesi ile ağacın tepesi arasındaki dik uzaklık x diyelim. Yatay uzaklık 20 metredir. tan(45°) = x / 20. tan(45°) = 1 olduğundan, x = 20 metredir. Ağacın tepesinin gözlemcinin bulunduğu seviyeden yüksekliği 20 metredir. Gözlemcinin göz seviyesi yerden 10 metre olduğuna göre, ağacın toplam yüksekliği 10 + 20 = 30 metredir.
17) f(x) = 3sin(2x - π/3) fonksiyonunun periyodu kaçtır?
Çözüm: sin(ax+b) ve cos(ax+b) fonksiyonlarının periyodu T = 2π / |a| formülüyle bulunur. Burada a = 2'dir. Dolayısıyla T = 2π / |2| = π'dir.
18) sin(2x) = 2sin(x)cos(x) özdeşliği kullanılarak sin(15°)cos(15°) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm: sin(2x) = 2sin(x)cos(x) ise, sin(x)cos(x) = sin(2x) / 2'dir. Burada x = 15°'dir. Yani sin(15°)cos(15°) = sin(2 * 15°) / 2 = sin(30°) / 2'dir. sin(30°) = 1/2 olduğu için, (1/2) / 2 = 1/4 elde edilir.
19) cos(x) + sin(x) = √2 olduğuna göre, cos(x) - sin(x) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: cos(x) + sin(x) = √2 denkleminin her iki tarafının karesini alalım: (cos(x) + sin(x))² = (√2)² => cos²(x) + 2sin(x)cos(x) + sin²(x) = 2. Temel özdeşlik olan sin²(x) + cos²(x) = 1'i yerine koyarsak: 1 + 2sin(x)cos(x) = 2 => 2sin(x)cos(x) = 1. Şimdi cos(x) - sin(x) ifadesinin karesini alalım: (cos(x) - sin(x))² = cos²(x) - 2sin(x)cos(x) + sin²(x). Yine sin²(x) + cos²(x) = 1'i kullanırsak: 1 - 2sin(x)cos(x). Daha önce 2sin(x)cos(x) = 1 bulmuştuk. Yerine koyarsak: 1 - 1 = 0. Dolayısıyla (cos(x) - sin(x))² = 0, bu da cos(x) - sin(x) = 0 anlamına gelir.
20) Bir ABCD dikdörtgeninde |AB|= 6 birim ve |BC|= 8 birimdir. [AC] köşegeni ile [AD] kenarı arasındaki açının sinüs değeri kaçtır?
Çözüm: Dikdörtgenin kenar uzunlukları |AB|=6 (uzun kenar) ve |BC|=8 (kısa kenar) olarak verilmiş. Ancak dikdörtgenin standart gösteriminde kısa kenar AB ve uzun kenar BC ise: |AB|=6 ve |AD|=|BC|=8 olur. AC köşegeni bir dik üçgenin hipotenüsüdür (ADC veya ABC üçgenleri). AC uzunluğu Pisagor'dan AC² = AD² + DC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100, dolayısıyla AC = 10 birimdir. Soruda istenen 'AC köşegeni ile AD kenarı arasındaki açı' yani CAD açısıdır. CAD açısının sinüsü, bu açının karşısındaki dik kenar olan DC'nin (AB'ye eşittir) hipotenüs olan AC'ye oranıdır. sin(CAD) = |DC| / |AC| = 6 / 10 = 3/5'tir. (Eğer AB uzun kenar, BC kısa kenar ise yani |AB|=8, |BC|=6 ise, bu durumda AC = 10 olur. CAD açısı için |DC|=8 olur. sin(CAD) = 8/10 = 4/5 olurdu. Ancak genel olarak dikdörtgende uzun kenar ve kısa kenar belirtilirken, A'dan B'ye B'den C'ye şeklinde saat veya saat tersi yönünde kenarlar isimlendirilir. Bu durumda AB=6, BC=8 => CD=6, DA=8 olur. C köşegeni ile AD kenarı arasındaki açı CAD, bu açının karşısındaki kenar CD=6'dır. Hipotenüs AC=10'dur. Dolayısıyla sin(CAD) = 6/10 = 3/5.)
Skor: 0/0 (0%)
Trigonometri
Trigonometri konusunda kapsamlı bir anlatım aşağıdadır.