10. sınıf matematik 10. sınıf matematik Polinomlar testi ve çözümleri

Çözüm: Verilen ifadeyi düzenlersek: (3a - a) + 5b + 2 = 2a + 5b + 2 olur. Bu ifadede 2a, 5b ve 2 olmak üzere 3 farklı terim vardır. (İfade başlangıçtaki haliyle 3a, 5b, -a, 2 olmak üzere 4 terime sahiptir, ancak benzer terimler ayrılmadan da sayılabilir. MEB kazanımlarında terim sayısı genellikle + veya - işaretleriyle ayrılan kısımlar olarak ele alınır.) 3a, 5b, -a ve 2 terimlerdir. Toplamda 4 terim vardır. 'a' teriminin katsayıları 3 ve -1'dir. 'a' teriminin kendisi ise 3a ve -a'dır. Soruda 'a teriminin katsayısı' dendiğinde, benzer terimler toplandıktan sonraki katsayı sorulmaktadır. İfadeyi düzenlediğimizde '2a' olur, dolayısıyla 'a' teriminin katsayısı 2'dir. Doğru seçenek 4 terim, katsayı 2'dir.

Çözüm: Başlangıçta yolcu sayısı: x İlk durakta: 5 inmiş, 3 binmiş. Yolcu sayısı: x - 5 + 3 = x - 2 İkinci durakta: Mevcut yolcu sayısının yarısı inmiş, 4 yeni yolcu binmiş. Mevcut yolcu sayısı (x - 2)'dir. Yarısı inerse: (x - 2) / 2 yolcu iner. Kalan yolcu sayısı: (x - 2) - (x - 2) / 2 = (x - 2) / 2 Daha sonra 4 yeni yolcu binmiş. Son durumdaki yolcu sayısı: (x - 2) / 2 + 4 Doğru seçenek (x+2)/2+4 olarak verilmiş. Bu ifade (x-2)/2 + 4 ile aynı değildir. Bir kontrol edelim. İlk durak sonunda: x - 5 + 3 = x - 2 yolcu var. İkinci durakta mevcut yolcunun yarısı iniyor, yani (x-2)/2 kişi iniyor. Kalan yolcu sayısı: (x-2) - (x-2)/2 = (x-2)/2 Ardından 4 yolcu biniyor: (x-2)/2 + 4 Şıklarda (x-2)/2 + 4 bulunmuyor. Ancak şıklarda (x+2)/2 + 4 var. Büyük ihtimalle bir hata veya farklı bir yorum var. Şıklara bakılırsa: A) (x - 5 + 3) / 2 + 4 = (x-2)/2 + 4, bu doğru cevap. B) (x - 2) / 2 + 4, bu da aynı. Demek ki şıklarda bir tekrar var. O zaman ben soruyu yeniden düzenleyip doğru şıkkı koymalıyım. Soru ve şıkları yeniden düzenleyelim. İlk durakta 5 yolcu inip 3 yolcu bindiğinde x-2 yolcu kalır. İkinci durakta kalan yolcuların yarısı kadar yolcu indi ve 4 yeni yolcu bindi. Yani (x-2) - (x-2)/2 + 4 = (x-2)/2 + 4. Şıklarda bu ifadeyi bulmalıyız. Yeni soru ve şıklar: 'Bir otobüs durağında başlangıçta 'x' yolcu bulunmaktadır. İlk durakta 5 yolcu otobüsten inip, 3 yolcu binmiştir. İkinci durakta ise otobüste kalan yolcu sayısının yarısı kadar yolcu inmiş ve 4 yeni yolcu binmiştir. Son durumda otobüsteki yolcu sayısını gösteren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?' Options: [ '(x - 2) / 2 + 4', '(x + 2) / 2 + 4', 'x - 5 + 3 - (x - 2) / 2 + 4', 'x / 2 + 3', '2x - 1' ] Doğru cevap A olacak. 'A' şıkkının indeks 0 olduğu için correct: 0. Çözüm: Başlangıçta x yolcu var. İlk durakta: 5 inip 3 bindi. Yolcu sayısı: x - 5 + 3 = x - 2. İkinci durakta: Kalan yolcu sayısının (x - 2) yarısı indi, yani (x - 2)/2 yolcu indi. Kalan yolcu: (x - 2) - (x - 2)/2 = (x - 2)/2. Ardından 4 yeni yolcu bindi. Son durumdaki yolcu sayısı: (x - 2)/2 + 4.

Çözüm: Bir dikdörtgenin çevresi, 2 * (kısa kenar + uzun kenar) formülüyle bulunur. Kısa kenar = (2x + 1) Uzun kenar = (3x - 2) Çevre = 2 * [(2x + 1) + (3x - 2)] Çevre = 2 * [2x + 3x + 1 - 2] Çevre = 2 * [5x - 1] Çevre = 10x - 2

Çözüm: Çarpma işlemini dağılma özelliğini kullanarak yaparız: (2x - 3)(x + 4) = 2x * x + 2x * 4 - 3 * x - 3 * 4 = 2x² + 8x - 3x - 12 = 2x² + (8x - 3x) - 12 = 2x² + 5x - 12

Çözüm: Karenin alanı bir kenar uzunluğunun karesiyle bulunur. Yani (3a - 2b)² ifadesini açmalıyız. Bu bir tam kare özdeşliğidir: (x - y)² = x² - 2xy + y² Burada x = 3a ve y = 2b'dir. (3a - 2b)² = (3a)² - 2 * (3a) * (2b) + (2b)² = 9a² - 12ab + 4b²

Çözüm: Verilen ifade 'iki kare farkı' özdeşliğine uyar: a² - b² = (a - b)(a + b). Burada 4x² ifadesi (2x)² olarak yazılabilir ve 25 ifadesi 5² olarak yazılabilir. O halde, 4x² - 25 = (2x)² - 5² = (2x - 5)(2x + 5).

Çözüm: Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenin (x) kuvvetlerinin doğal sayı (0, 1, 2, 3, ...) olması ve katsayıların reel sayı olması gerekir. A) P(x) = x³ - 2x² + 5: x'in kuvvetleri 3, 2, 0'dır (doğal sayı). Katsayılar 1, -2, 5 (reel sayı). Bu bir polinomdur. B) Q(x) = √2x + 7: x'in kuvveti 1'dir (doğal sayı). Katsayılar √2, 7 (reel sayı). Bu bir polinomdur. C) R(x) = x² + 1/x - 3: 1/x ifadesi x⁻¹ olarak yazılabilir. Burada x'in kuvveti -1'dir. -1 doğal sayı olmadığı için bu ifade bir polinom değildir. D) S(x) = 5: Bu bir sabit polinomdur, x'in kuvveti 0'dır (5x⁰). Bu bir polinomdur. E) T(x) = (x - 1)(x + 2) = x² + x - 2: x'in kuvvetleri 2, 1, 0'dır (doğal sayı). Katsayılar 1, 1, -2 (reel sayı). Bu bir polinomdur. Dolayısıyla, R(x) bir polinom değildir.

Çözüm: Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için x yerine 1 yazarız. Yani P(1) hesaplanır. P(1) = 2(1)³ - a(1)² + 4(1) - 1 P(1) = 2 - a + 4 - 1 P(1) = 5 - a Soruda katsayılar toplamının 6 olduğu verilmiş. O halde: 5 - a = 6 -a = 6 - 5 -a = 1 a = -1 Şıklarda hata var. Katsayılar toplamı 6 ise a=-1 olmalıydı. Soruda verilen katsayılar toplamı değerini değiştireyim veya şıkları. Soru: P(x) = 2x³ - ax² + 4x - 1 polinomunun katsayılar toplamı 6 olduğuna göre, 'a' değeri kaçtır? Options: ["-3", "-2", "1", "2", "3"] Doğru cevap 0 (yani -3) olarak verilmiş. O zaman 5 - a = 6 eşitliğini değil de 5 - a = -3 gibi bir şey çözmeliyiz. Eğer a=-3 olsaydı P(1) = 5 - (-3) = 8 olurdu. Bu şıklardan birine uymuyor. Soruyu düzeltiyorum: P(x) = 2x³ - ax² + 4x - 1 polinomunun katsayılar toplamı 8 olduğuna göre, 'a' değeri kaçtır? Çözüm: P(1) = 2(1)³ - a(1)² + 4(1) - 1 = 2 - a + 4 - 1 = 5 - a 5 - a = 8 -a = 3 a = -3 Bu durumda correct: 0 olur. Sabit terim sorusu yapsak daha iyi olabilir. Soru: P(x) = 2x³ - ax² + 4x - 1 polinomunun sabit terimi -1'dir. (Bu zaten gözüküyor). Bir bilinmeyen içeren farklı bir soru lazım. Yeni soru: P(x) = (a-2)x^4 + 3x^2 - 5 polinomu sabit polinom olduğuna göre, P(100) değeri kaçtır? Şıklar: [ -5, -2, 0, 3, 100 ] Correct: 0. Çözüm: Sabit polinom, değişken içeren terimi olmayan polinomdur. Bu durumda x'li terimlerin katsayıları 0 olmalıdır. x^4 terimi var. Katsayısı a-2. Yani a-2=0 olmalı, a=2. Polinom P(x) = 3x^2 - 5 olur. Hayır, bu da sabit polinom olmaz, çünkü 3x^2 terimi var. Tüm x'li terimler gitmeli. Tekrar düşünelim. MEB kazanımı olarak 'Polinomun tanımını ve özelliklerini açıklar' var. Sabit polinom için tüm x^n terimlerinin katsayıları 0 olmalıdır (n>0 için). Soru 8 (Orta): Polinomun tanımı, terimlerinin katsayıları ve derecesi (a-2)x^4 + ... şeklinde n'nin değeri ne olmalı? Sorusunu kullanacağım. Polinom: 'P(x) = (m-3)x⁵ + 4x³ + (m+1)x - 7' ifadesinin bir polinom olabilmesi için 'm' hangi değeri almalıdır? (Bu soru hatalı olur, m zaten kuvveti etkilemiyor.) Başka bir polinom tanım sorusu: P(x) = x^(n-3) + 2x² - 5x + 1 ifadesinin bir polinom olabilmesi için n'nin alabileceği en küçük doğal sayı değeri kaçtır? Options: [ 0, 1, 2, 3, 4 ] Correct: 3. Çünkü n-3 >= 0 olmalı. n >= 3. En küçük doğal sayı 3'tür. Bu soruyu kullanıyorum.

Çözüm: Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenin (x) tüm kuvvetlerinin doğal sayı (0, 1, 2, 3, ...) olması gerekir. Verilen P(x) ifadesinde x'in kuvvetleri (n-3), 2, 1, 0'dır. Burada önemli olan 'n-3' kuvvetinin doğal sayı olmasıdır. Yani: n - 3 ≥ 0 n ≥ 3 'n'nin alabileceği en küçük doğal sayı değeri 3'tür.

Çözüm: Polinomları toplarken, aynı dereceli terimlerin katsayılarını toplarız. P(x) + Q(x) = (3x² - 2x + 5) + (-x² + 4x - 1) = (3x² - x²) + (-2x + 4x) + (5 - 1) = 2x² + 2x + 4

Çözüm: İki polinomun birbirine eşit olması için aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır. x² teriminin katsayıları: a - 2 = 3 => a = 5 x teriminin katsayıları: b + 1 = -4 => b = -5 Sabit terimler: c = 7 Şimdi a + b + c değerini bulalım: a + b + c = 5 + (-5) + 7 = 7 Şıklarda 7 yok. Demek ki bir hata var. Tekrar hesaplayalım. a-2 = 3 => a=5 b+1 = -4 => b=-5 c = 7 a+b+c = 5 + (-5) + 7 = 7. Şıklarda 7 olmadığına göre ya soruda bir yanlışlık var ya da şıklarda. Şıkları düzeltmeliyim. Şıklardan biri 7 olmalıydı. 10 şıkkı doğru cevap olarak ayarlanmış. Ben correct 1 yani 9 olarak ayarlamıştım. Eğer 9 olmasını istersek a+b+c=9 çıkmalı. Mesela, P(x) = (a-2)x² + (b+1)x + c ve Q(x) = 3x² - 4x + 7. Eğer doğru cevap 9 ise, o zaman c=7 olamaz. Sanırım benim şıkları ayarlarken yanlışlıkla başka bir cevaba denk gelmiş. Ben 7 cevabını verecek şekilde doğru şıkkı düzelteceğim. Correct: 0 (8) => Ben 7'yi 8 yerine koyacağım. Options: ["7", "9", "10", "11", "12"] Correct: 0

Çözüm: İki polinomun birbirine eşit olması için aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır. x² teriminin katsayıları: a - 2 = 3 => a = 5 x teriminin katsayıları: b + 1 = -4 => b = -5 Sabit terimler: c = 7 Şimdi a + b + c değerini bulalım: a + b + c = 5 + (-5) + 7 = 7

Çözüm: Bir P(x) polinomunun (x - k) ile bölümünden kalan P(k)'dır. Burada (x - 2) ile bölümünden kalan sorulduğu için x yerine 2 koyarız, yani P(2) değerini buluruz. P(2) = (2)³ - 3(2)² + a(2) - 4 P(2) = 8 - 3(4) + 2a - 4 P(2) = 8 - 12 + 2a - 4 P(2) = -4 + 2a - 4 P(2) = 2a - 8 Soruda kalanının 2 olduğu verilmiş. O halde: 2a - 8 = 2 2a = 10 a = 5 Şıklarda hata var. Doğru cevap 5 olması gerekirken 3 olarak işaretlenmiş. Şıklar veya correct değeri değiştirilmeli. Şıklara bakıyorum. Correct 3 yani '4' olarak işaretlenmiş. Eğer 'a' değeri 4 ise, P(2) = 2(4) - 8 = 8 - 8 = 0 olurdu. Bu da kalan 2 ile çelişir. Soru metnini veya şıkları düzelteyim. Doğru cevap 5 ise, 5. şık E olmalı, yani correct: 4. Options: ["1", "2", "3", "4", "5"] Correct: 4

Çözüm: Bir P(x) polinomunun (x - k) ile bölümünden kalan P(k)'dır. Burada (x - 2) ile bölümünden kalan sorulduğu için x yerine 2 koyarız, yani P(2) değerini buluruz. P(2) = (2)³ - 3(2)² + a(2) - 4 P(2) = 8 - 3(4) + 2a - 4 P(2) = 8 - 12 + 2a - 4 P(2) = -4 + 2a - 4 P(2) = 2a - 8 Soruda kalanının 2 olduğu verilmiş. O halde: 2a - 8 = 2 2a = 10 a = 5

Çözüm: Bir polinomun çarpanlarından biri (2x - 1) ise, bu çarpanın kökü polinomun da köküdür. Yani P(1/2) = 0 olmalıdır (çarpan teoreminden). 2x - 1 = 0 => x = 1/2 P(1/2) = 2(1/2)² - 5(1/2) + m = 0 2(1/4) - 5/2 + m = 0 1/2 - 5/2 + m = 0 -4/2 + m = 0 -2 + m = 0 m = 2 Şıklarda hata var. Correct 1 yani -2 olarak işaretlenmiş. Eğer m=-2 olsaydı P(1/2) = 1/2 - 5/2 - 2 = -4/2 - 2 = -2-2 = -4 olurdu ki 0 olmazdı. Tekrar kontrol: m = 2 çıktı. Correct 4 (yani 2) olmalı. Options: ["-3", "-2", "0", "1", "2"] Correct: 4

Çözüm: Bir polinomun çarpanlarından biri (2x - 1) ise, bu çarpanın kökü polinomun da köküdür. Yani P(1/2) = 0 olmalıdır (çarpan teoreminden). 2x - 1 = 0 => x = 1/2 P(1/2) = 2(1/2)² - 5(1/2) + m = 0 2(1/4) - 5/2 + m = 0 1/2 - 5/2 + m = 0 -4/2 + m = 0 -2 + m = 0 m = 2

Çözüm: P(x) polinomunun (x² + x - 2) ile bölümünden kalanı bulmak için, bölüneni ve kalanı derecelerine göre yazarız. x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2) olduğundan, bölen 2. dereceden bir polinomdur. Dolayısıyla kalan en fazla 1. dereceden bir polinom olmalıdır. Kalanı ax + b şeklinde yazabiliriz. P(x) = (x - 1)(x + 2) * B(x) + ax + b Verilen bilgilere göre: P(1) = 5 (x - 1 ile bölümünden kalan 5) P(-2) = -1 (x + 2 ile bölümünden kalan -1) Şimdi bu değerleri kalan ifadesinde yerine koyalım: P(1) = a(1) + b = 5 => a + b = 5 (Denklem 1) P(-2) = a(-2) + b = -1 => -2a + b = -1 (Denklem 2) Denklem 1'den Denklem 2'yi çıkaralım: (a + b) - (-2a + b) = 5 - (-1) a + b + 2a - b = 6 3a = 6 a = 2 'a' değerini Denklem 1'de yerine koyalım: 2 + b = 5 b = 3 O halde, kalan polinom ax + b = 2x + 3'tür.

Çözüm: Eğer 1 ve 2 polinomun kökleri ise, P(1) = 0 ve P(2) = 0 olmalıdır. P(1) = (1)³ - 4(1)² + a(1) - b = 0 1 - 4 + a - b = 0 -3 + a - b = 0 => a - b = 3 (Denklem 1) P(2) = (2)³ - 4(2)² + a(2) - b = 0 8 - 4(4) + 2a - b = 0 8 - 16 + 2a - b = 0 -8 + 2a - b = 0 => 2a - b = 8 (Denklem 2) Şimdi Denklem 2'den Denklem 1'i çıkaralım: (2a - b) - (a - b) = 8 - 3 2a - b - a + b = 5 a = 5 'a' değerini Denklem 1'de yerine koyalım: 5 - b = 3 -b = 3 - 5 -b = -2 b = 2 Son olarak a + b değerini bulalım: a + b = 5 + 2 = 7 Şıklarda hata var. Doğru cevap 7 olması gerekirken 4 (yani 5) olarak işaretlenmiş. Şıklar veya correct değeri değiştirilmeli. Doğru cevap 7. O zaman 7 şıklarda olmalı. Şıkları düzeltiyorum. Options: ["4", "5", "6", "7", "8"] Correct: 3

Çözüm: Eğer 1 ve 2 polinomun kökleri ise, P(1) = 0 ve P(2) = 0 olmalıdır. P(1) = (1)³ - 4(1)² + a(1) - b = 0 1 - 4 + a - b = 0 -3 + a - b = 0 => a - b = 3 (Denklem 1) P(2) = (2)³ - 4(2)² + a(2) - b = 0 8 - 4(4) + 2a - b = 0 8 - 16 + 2a - b = 0 -8 + 2a - b = 0 => 2a - b = 8 (Denklem 2) Şimdi Denklem 2'den Denklem 1'i çıkaralım: (2a - b) - (a - b) = 8 - 3 2a - b - a + b = 5 a = 5 'a' değerini Denklem 1'de yerine koyalım: 5 - b = 3 -b = 3 - 5 -b = -2 b = 2 Son olarak a + b değerini bulalım: a + b = 5 + 2 = 7

Çözüm: P(1) = P(2) = P(3) = 5 olması demek, P(x) - 5 polinomunun köklerinin 1, 2 ve 3 olması demektir. Baş katsayısı 1 olduğundan, P(x) - 5 polinomunu şöyle yazabiliriz: P(x) - 5 = 1 * (x - 1)(x - 2)(x - 3) P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) + 5 Bizden P(0) değeri isteniyor. x yerine 0 yazalım: P(0) = (0 - 1)(0 - 2)(0 - 3) + 5 P(0) = (-1)(-2)(-3) + 5 P(0) = -6 + 5 P(0) = -1 Şıklarda hata var. Doğru cevap -1 olması gerekirken 4 (yani 3) olarak işaretlenmiş. Şıklar veya correct değeri değiştirilmeli. Doğru cevap -1. O zaman -1 şıklarda olmalı. Şıkları düzeltiyorum. Options: ["-1", "0", "1", "2", "3"] Correct: 0