10. sınıf matematik 10. sınıf matematik İkinci Dereceden Denklemler testi ve çözümleri – İnteraktif Test
1) Bir kenar uzunluğu x cm olan bir karenin alanı 64 cm² ise, x değeri kaçtır?
Çözüm: Karenin alanı bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılmasıyla bulunur. Yani x * x = x²'dir. x² = 64 olduğuna göre, hangi sayının karesi 64'tür diye düşünmeliyiz. 8 * 8 = 64 olduğu için x = 8'dir. (5-6. Sınıf Seviyesi)
2) Ayşe'nin yaşının 3 fazlasının karesi 49'a eşittir. Ayşe'nin yaşı kaçtır? (Yaş pozitif bir tam sayıdır.)
Çözüm: Ayşe'nin yaşına x diyelim. 'Ayşe'nin yaşının 3 fazlasının karesi' ifadesi (x+3)² olarak yazılır. Bu ifade 49'a eşit olduğuna göre (x+3)² = 49 olur. Hangi sayının karesi 49'dur? 7² = 49 veya (-7)² = 49. Eğer x+3 = 7 olursa x = 4 bulunur. Eğer x+3 = -7 olursa x = -10 bulunur. Ayşe'nin yaşı pozitif bir tam sayı olması gerektiğinden, x = 4'tür. (5-6. Sınıf Seviyesi)
3) Bir dikdörtgenin uzun kenarı, kısa kenarının 2 katından 1 cm fazladır. Bu dikdörtgenin alanı 36 cm² olduğuna göre, kısa kenar uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm: Kısa kenar uzunluğuna x diyelim. Uzun kenar, kısa kenarının 2 katından 1 cm fazla olduğu için 2x+1 olur. Dikdörtgenin alanı kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır: x * (2x+1) = 36. Bu denklemi açarsak 2x² + x = 36 elde ederiz. Denklemi 2x² + x - 36 = 0 haline getiririz. Çarpanlara ayırarak (2x+9)(x-4)=0 ya da seçenekleri deneyerek çözebiliriz. Eğer x=4 seçeneğini denerseniz: 2(4)² + 4 - 36 = 2(16) + 4 - 36 = 32 + 4 - 36 = 0. Yani kısa kenar 4 cm'dir. Uzunluk negatif olamayacağından x=4. (7-8. Sınıf LGS Seviyesi)
4) (x-2)² = 25 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm: (x-2)² = 25 ise, x-2 sayısı 5 veya -5 olabilir.
Durum 1: x-2 = 5 ise x = 5+2 = 7.
Durum 2: x-2 = -5 ise x = -5+2 = -3.
Denklemi sağlayan x değerleri 7 ve -3'tür. Bu değerlerin toplamı 7 + (-3) = 4'tür. (7-8. Sınıf LGS Seviyesi)
5) Aşağıdaki denklemlerden hangisi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir?
Çözüm: İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklem, ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) genel formuna sahip denklemdir. Bu formda en yüksek üs 2 olmalı ve sadece bir bilinmeyen (genellikle x) bulunmalıdır.
A seçeneği birinci dereceden, B seçeneği üçüncü dereceden, D seçeneği birinci dereceden, E seçeneği köklü bir ifadedir ve bu forma uygun değildir. C seçeneği ise x² - 4x + 7 = 0 şeklinde olup, a=1, b=-4, c=7 katsayılarıyla ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. (9. Sınıf Seviyesi)
6) x² - 16 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: x² - 16 = 0 denklemini x² = 16 şeklinde yazabiliriz. Hangi sayının karesi 16'dır? 4'ün karesi 16'dır (4² = 16) ve -4'ün karesi de 16'dır ((-4)² = 16). Dolayısıyla denklemin çözüm kümesi {-4, 4}'tür. (9. Sınıf Seviyesi)
7) 3x² - 9x = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Denklemi çözmek için ortak çarpan parantezine alabiliriz: 3x² - 9x = 0 => 3x(x - 3) = 0.
Bir çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
Durum 1: 3x = 0 ise x = 0.
Durum 2: x - 3 = 0 ise x = 3.
Denklemin kökleri 0 ve 3'tür. Seçeneklerde 0 bulunmaktadır. (9. Sınıf Seviyesi)
8) x² - 5x + 6 = 0 denkleminin köklerinden küçük olanı kaçtır?
Çözüm: Denklemi çarpanlara ayıralım. Çarpımları +6 olan ve toplamları -5 olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar -2 ve -3'tür.
Yani (x - 2)(x - 3) = 0 şeklinde çarpanlara ayrılır.
Buradan x - 2 = 0 => x = 2 veya x - 3 = 0 => x = 3 bulunur.
Kökler 2 ve 3'tür. Bu köklerden küçük olanı 2'dir. (9. Sınıf Seviyesi)
9) 2x² + 5x - 3 = 0 denkleminin diskriminantı (Δ) kaçtır?
Çözüm: Genel ikinci dereceden denklem ax² + bx + c = 0 için diskriminant Δ = b² - 4ac formülü ile hesaplanır.
Verilen denklemde 2x² + 5x - 3 = 0, katsayılar a = 2, b = 5, c = -3'tür.
Δ = (5)² - 4 * (2) * (-3)
Δ = 25 - (-24)
Δ = 25 + 24
Δ = 49. (9. Sınıf Seviyesi)
10) (m-1)x² + 2x + 1 = 0 denkleminin gerçek (reel) kökü olmadığına göre, m'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm: Bir ikinci dereceden denklemin gerçek kökü olmaması için diskriminantının sıfırdan küçük olması gerekir (Δ < 0).
Verilen denklemde a = m-1, b = 2, c = 1'dir. Ayrıca, denklemin ikinci dereceden olması için a ≠ 0, yani m-1 ≠ 0 ve m ≠ 1 olmalıdır.
Δ = b² - 4ac < 0
(2)² - 4 * (m-1) * (1) < 0
4 - 4(m-1) < 0
4 - 4m + 4 < 0
8 - 4m < 0
8 < 4m
2 < m
Yani m değeri 2'den büyük olmalıdır. m'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri 3'tür. (9. Sınıf Seviyesi)
11) x² + 4x - 12 = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Bu denklemi çarpanlara ayırarak veya diskriminant formülü ile çözebiliriz.
Çarpanlara ayırma: Çarpımları -12, toplamları +4 olan sayılar +6 ve -2'dir. Yani (x+6)(x-2)=0. Buradan x=-6 veya x=2 bulunur. Seçeneklerde -6 bulunmaktadır.
Diskriminant formülü ile çözüm: a=1, b=4, c=-12.
Δ = b² - 4ac = (4)² - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64.
x = (-b ± √Δ) / 2a = (-4 ± √64) / (2*1) = (-4 ± 8) / 2.
x₁ = (-4 + 8) / 2 = 4 / 2 = 2.
x₂ = (-4 - 8) / 2 = -12 / 2 = -6.
Köklerden biri -6'dır. (9. Sınıf Seviyesi)
12) 2x² - 6x + 5 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olduğuna göre, x₁ + x₂ toplamı kaçtır?
Çözüm: ax² + bx + c = 0 şeklindeki bir ikinci dereceden denklemin kökler toplamı x₁ + x₂ = -b/a formülü ile bulunur.
Verilen denklemde a = 2, b = -6, c = 5'tir.
x₁ + x₂ = -(-6) / 2 = 6 / 2 = 3. (10. Sınıf Seviyesi)
13) x² + 7x - 10 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olduğuna göre, x₁ * x₂ çarpımı kaçtır?
Çözüm: ax² + bx + c = 0 şeklindeki bir ikinci dereceden denklemin kökler çarpımı x₁ * x₂ = c/a formülü ile bulunur.
Verilen denklemde a = 1, b = 7, c = -10'dur.
x₁ * x₂ = (-10) / 1 = -10. (10. Sınıf Seviyesi)
14) Kökleri -3 ve 5 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Kökleri x₁ ve x₂ olan ikinci dereceden denklem x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ * x₂) = 0 formülü ile yazılabilir.
Verilen kökler x₁ = -3 ve x₂ = 5'tir.
Kökler toplamı: x₁ + x₂ = -3 + 5 = 2.
Kökler çarpımı: x₁ * x₂ = (-3) * 5 = -15.
Denklem: x² - (2)x + (-15) = 0 => x² - 2x - 15 = 0. (10. Sınıf Seviyesi)
15) x² - (m+1)x + 2m - 1 = 0 denkleminin köklerinden biri 3 olduğuna göre, m değeri kaçtır?
Çözüm: Bir denklemin kökü, denklemi sağlar. Yani x yerine 3 yazdığımızda denklem sıfıra eşit olmalıdır.
(3)² - (m+1)(3) + 2m - 1 = 0
9 - (3m + 3) + 2m - 1 = 0
9 - 3m - 3 + 2m - 1 = 0
(9 - 3 - 1) + (-3m + 2m) = 0
5 - m = 0
m = 5. (10. Sınıf Seviyesi)
16) Bir top, yerden yukarı doğru atıldığında t saniye sonra yerden yüksekliği metre cinsinden h(t) = -t² + 6t fonksiyonu ile modellenmektedir. Topun yerden yüksekliğinin 5 metre olduğu anlar arasındaki süre farkı kaç saniyedir?
Çözüm: Topun yerden yüksekliği 5 metre olduğuna göre, h(t) = 5 denklemini kurmalıyız.
-t² + 6t = 5
Denklemi standart forma getirelim: t² - 6t + 5 = 0.
Bu denklemi çarpanlara ayırabiliriz. Çarpımları +5, toplamları -6 olan sayılar -1 ve -5'tir.
(t - 1)(t - 5) = 0.
Buradan t₁ = 1 ve t₂ = 5 bulunur.
Yani top 1. saniyede ve 5. saniyede yerden 5 metre yüksekliktedir.
Bu anlar arasındaki süre farkı t₂ - t₁ = 5 - 1 = 4 saniyedir. (10. Sınıf / Günlük Hayat Bağlantılı)
17) 2x² - 3x - 4 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olduğuna göre, x₁² + x₂² ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm: ax² + bx + c = 0 denklemi için kökler toplamı x₁ + x₂ = -b/a ve kökler çarpımı x₁ * x₂ = c/a'dır.
Verilen denklemde a = 2, b = -3, c = -4.
Kökler toplamı x₁ + x₂ = -(-3)/2 = 3/2.
Kökler çarpımı x₁ * x₂ = (-4)/2 = -2.
Bizden x₁² + x₂² isteniyor. Bu ifadeyi (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ şeklinde yazabiliriz.
(x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (3/2)² - 2(-2)
= 9/4 + 4
= 9/4 + 16/4
= 25/4. (11-12. Sınıf YKS Seviyesi)
18) x⁴ - 13x² + 36 = 0 denkleminin reel köklerinin toplamı kaçtır?
Çözüm: Bu denklem x² = u dönüşümü ile ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülebilir.
u² - 13u + 36 = 0.
Çarpımları 36, toplamları -13 olan iki sayı -4 ve -9'dur.
(u - 4)(u - 9) = 0.
Buradan u = 4 veya u = 9 bulunur.
Şimdi u yerine x² yazalım:
Durum 1: x² = 4 => x = 2 veya x = -2.
Durum 2: x² = 9 => x = 3 veya x = -3.
Denklemin reel kökleri {-2, 2, -3, 3}'tür.
Bu köklerin toplamı: (-2) + 2 + (-3) + 3 = 0. (11-12. Sınıf YKS Seviyesi)
19) x² - 2x + 5 = 0 denkleminin karmaşık köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Bu denklem için diskriminant (Δ) hesaplayalım.
a = 1, b = -2, c = 5.
Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16.
Δ < 0 olduğu için denklemin reel kökleri yoktur, karmaşık kökleri vardır.
Kök formülü x = (-b ± √Δ) / 2a.
x = ( -(-2) ± √(-16) ) / (2*1)
x = ( 2 ± √(16 * -1) ) / 2
x = ( 2 ± 4i ) / 2
x₁ = (2 + 4i) / 2 = 1 + 2i.
x₂ = (2 - 4i) / 2 = 1 - 2i.
Seçeneklerde 1+2i bulunmaktadır. (11-12. Sınıf YKS Seviyesi)
20) x² - (2m+1)x + m - 5 = 0 denkleminin farklı işaretli iki gerçek kökü olduğuna göre, m'nin alabileceği en geniş tam sayı değeri aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Bir ikinci dereceden denklemin farklı işaretli iki gerçek kökü olması için ana şart, kökler çarpımının sıfırdan küçük olmasıdır (x₁ * x₂ < 0).
Bu şart sağlandığında diskriminant (Δ) otomatik olarak pozitif olur, çünkü x₁ * x₂ = c/a < 0 demek, a ve c katsayılarının zıt işaretli olması demektir. Dolayısıyla Δ = b² - 4ac ifadesinde -4ac kısmı pozitif olur (çünkü a ve c zıt işaretli, ac negatif, -ac pozitif). b² de ≥ 0 olduğu için Δ = b² - 4ac > 0 sağlanmış olur.
Denklem: x² - (2m+1)x + m - 5 = 0
Burada a = 1, b = -(2m+1), c = m - 5.
Kökler çarpımı x₁ * x₂ = c/a = (m - 5) / 1.
Bu ifadenin sıfırdan küçük olması gerekir:
m - 5 < 0
m < 5.
m'nin alabileceği değerler aralığı m < 5 koşulunu sağlayan reel sayılardır. Seçeneklerde 'm < 5' olarak B şıkkı bulunmaktadır. (11-12. Sınıf YKS Seviyesi)
Skor: 0/0 (0%)
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler konusunda kapsamlı bir anlatım aşağıdadır.